Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

2.2 Показательная функция
Составим функциональное уравнение, решение которого однозначно определит показательную функцию. Используем для этого равенства:

	(31)
	(32)
	(33)
	(34)

Запишем четыре функциональных уравнения, соответствующих уравнениям (31) – (34) и пронумеруем их соответственно (35) – (38).

	(35)
	(36)
	(37)
	(38)

Так как уравнения (35) – (38) эквиваленты, то далее будем исследовать класс уравнений (35). Рассмотрим решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям:

1. 
   непрерывная функция в интервале ;
   
2. 
   не тождественно равна нулю;
   
3. 
   .
   

Теорема 2. Решение класса функциональных уравнений (35) при условиях 1) – 3) имеет вид .
Доказательство. По условию теоремы функция не тождественно равна нулю, следовательно, существует такое значение , что . Обозначим . Подставим указанное в уравнение (35). Получим , в силу произвольности функция отлична от нуля при любом . Более того, можно уточнить еще , так как . Далее используем определение логарифма из средней школы. Прологарифмируем уравнение (35) . Введем новую функцию . Функция непрерывна как композиция непрерывных функций и по определению удовлетворяет уравнению .
Получено уравнение, решение которого, удовлетворяющим условиям 1) – 3), является только линейная функция, поэтому , – произвольная константа. По определению логарифма . Так как , то можно обозначить . Теорема доказана.
Методом математической индукции докажем, что для любого справедливо равенство
. (39)
Действительно, при это равенство очевидно. Предположим, что оно верно для некоторого натурального и докажем его справедливость для следующего натурального числа . Рассмотрим . Из уравнения (35) имеем , что и требовалось показать.
При равенство (39) дает значение функции при натуральных значениях аргумента: или . Полагая в равенстве (35) , получим или , то есть мы получили значения функции при положительных значениях аргумента . Так как , то .
Таким образом, для любого рационального значения аргумента имеем . Пусть теперь – любое действительное число, а – последовательность рациональных чисел, сходящихся к . Но по доказанному . Переходя в этом неравенстве к пределу при и учитывая, что функция непрерывна, получим .
Теорема доказана.
Определение 5. Класс уравнений (35) назовем классом уравнений, определяющих показательную функцию при условиях 1) – 3).
Исследуем свойства показательной функции, заданной как решение класса функциональных уравнений (35). Установим вначале несколько свойств решений этого класса. Пусть – произвольное решение класса.
а) . По условию теоремы существует такое , что . Тогда для любого имеем на основании уравнения (35) .
Отсюда и, значит, .
Сформулируем доказанное свойство, используя понятие множества значений функции.
б) . Так как и , то .
в) .
Полагая в уравнении (35) , получим или . Следовательно,
г) Исследуем показательную функцию на монотонность. Полагая в уравнении (35) , , получим . Преобразуем разность
(40)
Пусть , . При этом правая часть равенства (40) положительна и, следовательно, . Значит функция строго возрастает на интервале . Аналогично доказывается строгое убывание функции строго убывает на интервале при .
е) Исследуем показательную функцию на ограниченность. Найдем предельные значения функции при . Учитывая непрерывность функции и ее строгое возрастание (убывание) на интервале , будем рассматривать пределы функции по множеству целых чисел.
Так как , то при , а при . Следовательно, при , при . Аналогично доказывается, что при , при .
Определение 6. Решение класса функциональных уравнений (35) при условиях 1) – 3) называется показательной функцией и обозначается .