Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения


История развития функциональных уравнений



Download 1,22 Mb.
bet3/14
Sana20.05.2023
Hajmi1,22 Mb.
#941405
TuriРеферат
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
Bog'liq
Дипломная работа на тему «Определение основных элементарных функций с помощью функциональных уравнений» (1)

История развития функциональных уравнений
Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнение, неизвестная функция которого связана с известными функциями одной или нескольких переменных при помощи образования сложной функции (композиции).
Например: , где -неизвестная функция, и - независимые переменные.
Некоторые функциональные уравнения знакомы нам еще из школьного курса это , , , которые задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.
Решением функционального уравнения на множестве называется функция, при подстановке которой в функциональное уравнение оно превращается в верное равенство на множестве .
Например: Покажем, что функция является решением функционального уравнения .
Действительно, для всех x и y. Поэтому функция является решением функционального уравнения . Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Еще в 1769 году Даламбер свел обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения
(1)
То же уравнение с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 - 1857) нашел общие решения этого уравнения , , , предполагая только непрерывность .
Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности была получена Н.И. Лобачевским (1792 - 1856) из функционального уравнения
(2) которое он решил методом, аналогичным методу Коши.
Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792 -1871). Он изучал периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции - произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой имеет ординату х. Следовательно,
(3)
Функциональному уравнению (3) удовлетворяют функции: ,
Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши
, (4)
, (5)
, (6)
. (7)
Эти уравнения Коши подробно изучил в своем курсе анализа, изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырех основных уравнений имеют соответственно вид .
В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение (4) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.
Функциональное уравнение (4) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (4) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию . Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид . Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (4)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В ходе работы мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. для . Казалось бы, что тогда для всех действительных . Если - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить - то нет. Первый пример отличного от разрывного решения функционального уравнения (4) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель с помощью введённого им базиса действительных чисел.
Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение - класс функций, симметричных относительно прямой , и т. д.
Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Отсюда возникает необходимость рассмотреть вопрос о методах решения функциональных уравнений.


Download 1,22 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish