Определение Натуральным рядом

Сложение натуральных чисел
Определение. Сложением натуральных чисел назы­вается такое соответствие, которое каждым натуральным числам а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а + b и обладает следующими свойствами:
1) а+ 1 = а' для любого а N,
2) а + b' =(а + b)' для любых a и b N.
Числа а и b называются слагаемыми, а число а + b — их суммой.
Встает вопрос о существовании и единственности операции сложения натуральных чисел. Прежде чем ответить на этот вопрос, проверим вначале существование некоторых функций на множестве N.
Теорема 1. Для любого элемента а из множества натуральных чисел, существует функция f_a(x):N→N, обладающее следующими свойствами:

1. 
   f_a(1)=a', (1)
   
2. 
   f_a(b')=[f_a(b)]'. (2)
   

Теорема 2. Операция сложения существует.
Теорема 3. Операция сложения, определена однозначно.
Законы сложения
Теорема 1. Операция сложения на множестве натуральных чисел ассоциативна, т.е.
х, у, z N (х + у) + z = х + (у + z).
Теорема 2. Операция сложения на множестве натуральных чисел коммутативна, т.е.
х, у N х + у = у +х.
Теорема 3. Для любых натуральных чисел х и у имеет место неравенство:
х+у ≠ х.
Теорема 4. Для любых натуральных чисел х, у, z если у ≠ z, то у + х ≠ z + х.
Определение умножения
Определение. Умножением натуральных чисел называется соответствие, в силу которого любым двум натуральным числам х и у, или сомножителям, становится в соответствие единственное натуральное число х•у, называемое их произведением, которое удовлетворяет двум аксиомам умножения:
1) х•1=х, для любого х;
2) х•у'=х•у+х, для любых х и у.