Определение Натуральным рядом

АКСИОМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ (АКСИОМЫ ПЕАНО) И ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ


Определение 1. Натуральным рядом называется непустое множество N, элементы которого называются натуральными числами, в котором задано унарное отношение ' (штрих),которое записывается в виде a'=b, читается: «b следует за a» или «b есть число, следующее за числом a», удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. 
   Существует элемент 1, не следующий ни за каким числом, т. е. a'   1 для любого числа а N.
   
2. 
   Для любого числа a существует следующее за ним число a' и притом только одно, т. е. из a=b следует a'=b',
   
3. 
   Любое число следует не более чем за одним числом, т. е. из а' =b' следует a = b.
   
4. 
   (Аксиома индукции.) Любое подмножество М множества N натуральных чисел, обладающее свойствами:
   

А) 1 принадлежит М,
Б) если число a принадлежит М, то следующее число a' также принадлежит М,
содержит все натуральные числа, т. е. совпадает с N.
Приведенная здесь аксиоматика натуральных чисел представ­ляет собой лишь несущественное изменение системы аксиом, предложенной в конце прошлого века итальянским математиком и логиком Пеано.
Замечание. Аксиомами Пеано I-IV, определяется множество натуральных чисел, понятие же натурального числа относится к неопределяемым понятиям.
Определение 2. Если b следует за а, то говорят, что а есть число, предшествующее числу b, или что а предшествует b.
Согласно аксиоме I число 1 не имеет предшествующего. Но это единственное число с таким свойством.