Ona davlat universiteti

2.2 Tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonuni va taqsimot funksiyalariga doir masalalar.
Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‘ziga xos o‘rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya’ni boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko‘p qo‘llaniladigan taqsimotdir.

• 
  X uzluksiz t.m. normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa
  

(2.6.6)
a va parametrlar bo‘yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal t.m.ning taqsimot funksiyasi


(2.6.7)

Agar normal taqsimot parametrlari a=0 va bo‘lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega:

Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9-rasmda keltirilgan). Taqsimot funksiyasi

ko‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda keltirilgan).

a va parametrlarni ma’nosini aniqlaymiz. Buning uchun t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,

.

Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya hisoblashda almashtirish va bo‘laklab integrallashdan foydalanamiz:

.

Demak, va o‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.

18-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o‘zgarishi tasvirlangan:



18-rasm.

t.m.ning intervalga tushishi ehtimolligini hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma’lumki,

Laplas funksiyasidan foydalanib((1.14.6) formula), quyidagiga ega bo‘lamiz:

(2.6.8)

Normal taqsimot taqsimot funksiyasini Laplas funksiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo‘ladi:

(2.6.9)

Agar Laplas funksiyasi bo‘lsa, u holda va (2.6.8) formulani quyidagicha yozsa bo‘ladi:

(2.6.10)

Amaliyotda ko‘p hollarda normal t.m.ning a ga nisbatan simmetrik bo‘lgan intervalga tushishi ehtimolligini hisoblashga to‘gri keladi. Uzunligi 2l bo‘lgan intervalni olaylik, u holda

Demak,

(2.6.11)

(2.6.11) da deb olsak, bo‘ladi. funksiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo‘lamiz: Agar bo‘lsa, u holda uning matematik kutilishidan chetlashishining absolut qiymati o‘rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo‘lmaydi. Bu qoida “uch sigma qoidasi” deyiladi(19-rasm).

19-rasm.

2.7.-misol. Detallarni o‘lchash jarayonida mm parametrli normal taqsimotga bo‘ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga yo‘l qo‘yildi. Bog‘liqsiz 3 marta detalni o‘lchaganda hech bo‘lmasa bitta o‘lchash xatoligining absolut quymati 2 mm dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini baholang.

(2.6.11) formulaga ko‘ra Bitta tajribada(o‘lchashda) xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi . Tajribalarimiz bog‘liqsiz bo‘lganligi uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi bo‘ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.