Oliy va oʻrta maxsus taʼlim vazirligi O‘zbekiston Respublikasi Islom Karimov nomidagi

O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Ushbu M(x)dxQN(u)duq0 ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o’ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog’liq ko’paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog’liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning yechimi uni hadma-had integrallash yo’li bilan aniqlanadi:

 M(x)dx  N(y)dyC
Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan yechimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi S ni yechim uchun qulay ko’rinishda tanlash mumkin.

260- misol: tgxdx-ctgydyq0 tenglamaning umumiy yechimini toping.

Echish: Bu yerda o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga egamiz. Uni hadma-had integrallaymiz:
 tgxdx - ctgydyC yoki –lncosx-lnsinyq-ln
Bu yerda integrallash doimiysi S ni – ln, ya’ni Sq - ln
orqali belgilash qulaydir, bundan
ln sin y ∙ cos x qln yoki sin y ∙ cos x q umumiy integralni topamiz.

Tahrif.
y' q ₁(x)₂(y) (1)
ko’rinishdagi tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu yerda ₁(x) va ₂(y) uzluksiz funksiyalar.
(1) tenglamani yechish uchun unda o’zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1) da uni o’rniga dy/dx ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ₂(y) 0 ga bo’lamiz va dx ga ko’paytiramiz. U o’olda (1) tenglama

(2)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada x o’zgaruvchi faqat o’ng tomonda, u o’zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o’zgaruvchilar ajratildi. (2) tenglikni har ikki tomonini integrallab,ekanligini hosil qilamiz, bu yerda S ixtiyoriy o’zgarmas.

261-misol. y'qy/x tenglamani yeching.
Echish. Berilgan tenglama (2) ko’rinishdagi tenglama, bu yerda ₁(x) q 1/x va ₂(y)qu. O’zgaruvchilarni ajratib, tenglamani h’osil qilamiz. Uni integrallab , S0 yoki lnyqlnxQlnC va bu tenglikni potentsirlab, yqCx umumiy yechimni topamiz.
Faraz qilaylik, uqSx umumiy yechimdan x₀q1, u₀q2 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechim topish talab
qilinyapti. Bu qiymatlarni uqS∙x ga