Oliy matematika

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI 

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI 

 

 

“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI 

 

 

 

 

Mavzu: Ba’zi  elementar funksiyalarning 

hosilalari. Hosilalar jadvali. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bajardi:                         “

QXM-145” guruh talabasi Bo’ronov Abbos  

Qabul qildi:                               Raxmonov B.N.

 

 

 

 

 

Qarshi 2015 

 

Reja: 

 

 

 

1. Giperbolik  funksiyalar va ularning hosilalari

 

2. Oshkormas funksiya va uning hosilasi. 

3. Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik  

berilgan funksiyaning hosilasi. 

4. Hosilalar jadvali. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Giperbolik  funksiyalar va ularning hosilalari 

,

2

х

х

е

е

shx







    

,

2

х

х

е

е

chx







    

,

х

х

х

х

е

е

е

е

thx











   

,

х

х

х

х

е

е

е

е

cthx











 

tengliklar yordamida aniqlanadigan funksiyalar giperbolik funksiyalar deb ataladi. 

Bunda shx- giperbolik sinus, chx-giperbolik kosinus, thx=

chx

shx

 - giperbolik 

tangens, cthx=

shx

chx

- giperbolik kotangens deb ataladi.  

Bu funksiyalar orasida 

ch

2

x-sh

2

x=1,    ch

2

x+sh

2

x=ch2x, 

sh2x=2shx chx,  ch

2

x= 

 x

th

1

1

2



 

ayniyatlar o’rinli ekanligini tekshirib kurishni o’quvchiga tavsiya etamiz. 

Endi Shu funksiyalarni hosilalarini topish formulalarini hosil qilamiz. 

 

 























2

х

х

е

е

shx

=





2







х

х

е

е

=

 

2

х

х

е

е





= chx,     

 























2

х

х

е

е

chx

=

 





2







х

х

е

е

=

 

2

х

х

е

е





= shx, 

 



















chx

shx

thx

 = 

x

ch

)

shx(chx

-

chx

)

(shx

2





 = 

x

ch

x

sh

-

x

ch

2

2

2

=

x

ch

1

2

, 

























shx

chx

cthx

x

sh

)

chx(shx

-

shx

)

(chx

2





 = 

х

2

2

2

2

sh

1

x

 

sh

x

 

ch

-

x

 

sh





.  

 

Hisoblashda  

х

х

х

е

е

е











)

(

,

)

е

(

х

 ekanligidan foydalandik.  

Shunday qilib: 





)

(shx





)

(chx

 

chx,

shx

,  

 

,

 x

сh

1

2





thx

  





 x

sh

1

2







cthx

. 

2. Oshkormas  funksiya va uning hosilasi 

 х  va  у  o’zgaruvchilar  orasidagi  funktsional  bog’lanish  F(х,у)=0  tenglama 

bilan  berilgan  bo’lsin.  Agar  qandaydir      (а,  b)  intervalda  aniqlangan  у=f(х) 

funksiya  mavjud  bo’lib,  u    F(х,у)=0  tenglamani  qanoatlantirsa,  u  holda  у=f(х) 

funksiya  F(х,у)=0  tenglama  bilan  aniqlangan  oshkormas  funksiya  deyiladi. 

Funksiya  у=f(х)  tenglik  yordamida  berilganda  y  oshkor  ko’rinishda  berilgan 

deyiladi.  Oshkor  ko’rinishda  berilgan  funksiyani  у-f(х)=0  ko’rinishda  yozilsa  y 

oshkormas ko’rinishda berilganga o’tiladi. Funksiya F(х,у)=0 tenglama yordamida 

oshkormas  shaklda  berilganda  tenglamani  у  ga  nisbatan  yechilsa  funksiyaning  

oshkor ko’rinishdagi tenglamasi hosil bo’ladi. Ammo bunday o’tish har doim ham 

oson bo’lavermaydi, ba‘zan esa umuman o’tishning iloji bo’lmaydi. 

Shuning uchun oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan 

topish usuli bilan misollarda tanishamiz. 

1-misol  х

2

+у

2

=4 tenglama bilan berilgan funksiyaning 

y



 hosilasini toping. 

Yechish. Berilgan tenglamani у ni х ning funksiyasi ekanligini hisobga olgan 

holda x bo’yicha differensiallaymiz: (х

2

)



’+(у

2

)



=4; 2х+2у.

y



=0, 

0









у

у

х

, bundan  

у

х

у







. 

2-misol.  у

4

-4ху+х

4

=0  tenglama  bilan  berilgan  funksiyaning 

y



  hosilasini 

toping.  

Yechish.  Differesiallaymiz: 

0

4

)

(

4

4

3

3



















х

у

х

у

х

у

у

; 

3

3

х

у

х

у

у

у















;   

3

3

)

(

х

у

у

х

у









;      

х

у

х

у

у









3

3

 

Biz  kelgusida  oshkormas  funksiyaning  hosilasini  topishga  yana  qaytamiz. 

Shuning uchun bu yerda uni batafsil o’rganib o’tirmaymiz. 

 

3. Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan       

funksiyaning hosilasi. 

 











)

t

(

),

t

(





у

х

   (1.1) 

tenglamalar  berilgan  bo’lsin.  Bu  yerda  t   





2

1

,Т

Т

  kesmadagi  qiymatlarni  qabul 

qiladi. t ning  har bir qiymatiga  х va у ning aniq qiymatlari to’g’ri keladi. Agar  x  

va  y ni 0ху koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalari deb qaralsa, u holda t   

ning  har  bir  qiymatiga  tekislikning  ma’lum  bir  nuqtasi  to’g’ri  keladi.  t  ning 

qiymatlari Т

1

 dan Т

2

 gacha o’zgarsa, bu nuqta tekislikda biror egri chiziqni chizadi. 

(1.1)  tenglamalar  ana  shu  egri  chiziqning  parametrik  tenglamalari  deyiladi,          

t parametr deyiladi. 

Bu  egri  chiziq  qandaydir    у=f(х)    funksiyaning  grafigi  bo’lsa,  u  holda 

у=f(х) funksiya (1.1) parametrik tenglamalari yordamida berilgan deyiladi. х bilan 

у orasidagi bog’lash (1.1) tenglamalardan  t ni yuqotish orqali o’rnatiladi. 

Faraz qilaylik,  

 

t

x





  funksiya   

 

x

t





 teskari funksiyaga ega bo’lsin. 

U holda 

 

x

t





 ni  (21.1) ning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak у ni х ning 

funksiyasi sifatida aniqlaydigan 

у=



[Ф(х)] yoki   у=f(х) 

tenglikka ega bo’lamiz. 

Shunday qilib (1.1) tenglamalar qandaydir у=f(х) funksiyani aniqlar ekan. 

3–misol:    М

0

(х

0 

,у

0

)  nuqtadan  o’tib         

j

n

i

m

s











    yo’naltiruvchi  vektorga 

ega to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari yozilsin. 

Yechish.  Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi   

n

у

у

m

х

х

0

0







 

ko’rinishga  ega  ekanligi  ma‘lum. 

t

n

у

у

t

m

х

х









0

0

,

  deb  belgilasak  х-х

0

=mt,         

у-у

0

=nt    yoki 















nt

у

у

mt

х

х

0

0

,

  to’g’ri  chiziqning  parametrik  tenglamalari  hosil 

bo’ladi. 

4-misol. 

















)

0

,

2

0

(

int

,

R

t

RS

у

RCost

х



 

tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. 

Tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak                                    

х

2

+у

2

=R

2

cos

2

t+R

2

sin

2

t= R

2

(cos

2

t+sin

2

t)=R

2

 

yoki  х

2

+у

2

=R

2

 hosil bo’ladi. Bu markazi koordinata boshida bo’lib radiusi R 

ga teng aylananing kanonik tenglamasi ekani ma‘lum. 

5-misol. 



















)

0

,

0

,

2

0

(

,

sin

,

cos

b

а

t

t

b

у

t

а

х



 

tenglamalar  ellipsning  kanonik  tenglamalari  ekanini  ko’rsatamiz.  Tenglamalarni 

birinchisini а ga, ikkinchisini b ga bo’lib ularni  

















t

b

y

t

а

х

sin

,

cos

 

ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak    

1

sin

cos

2

2

2

2

2

2









t

t

b

у

а

х

  yoki   

1

2

2

2

2





в

у

а

х

 

ellipsning kanonik tenglamasiga ega bo’lamiz. 

6-misol.   











.

,

bsht

y

асht

х

 

tenglamalar giperbolaning parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz (а>0, b>0).  

Tenglamaning birinchisini а ga ikkinchisini b ga bo’lsak    

sht

b

y

сht

а

х





,

  hosil 

bo’ladi.  Bu  tenglamalarning  kvadratga  ko’tarib  birinchi  tenglamadan  ikkinchisini 

hadlab ayirsak 

1

2

2

2

2

2

2









t

sh

t

ch

b

у

а

х

  yoki 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

  giperbolaning  kanonik  tenglamasiga 

ega bo’lamiz.  

Endi parametrik tenglamalari 











)

t

(

),

t

(





у

х

 bilan berilgan funksiyaning hosilasini 

topish  uchun  formula  chiqaramiz.

)

t

(



, 

 

t



  funksiyalar  differensiallashuvchi 

hamda x=

)

t

(



 funksiya t=ф(х) teskari funksiyaga ega deb faraz qilamiz. U holda  

)

(

),

(

х

ф

t

t

у







  bo’lgani  uchun    у    х  ning  murakkab  funksiyasi  bo’ladi,  t-oraliq 

argument. 

Shu sababli murakkab funksiyani hosilasini topish formulasiga binoan 











x

t

x

t

y

y

               (1.2) 

bo’ladi. Teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko’ra  







e

x

x

t

1

 , bo’lgani 

uchun buni (1.2)ga qo’ysak   

















t

t

t

t

x

x

y

x

y

y

1

   hosil bo’ladi. 

Shunday qilib,    









t

t

x

x

y

y

                   (1.3) 

parametrik    tenglamalari  bilan  berilgan  funksiyaning  hosilasini  topish 

formulasini hosil qilamiz. 

7-misol.    











.

sin

,

cos

t

b

у

t

а

х

            



x

y

-? 

Yechish.      

сtgt

а

b

t

a

t

b

t

a

t

b

y

x



















)

sin

(

cos

)

cos

(

)

sin

(

. 

8-misol     











.

,

bsht

у

аcht

х

            



x

y

-? 

Yechish.   

сtht

а

b

asht

bcht

acht

bsht

у

x













)

(

)

(

 

9-misol 











.

sin

,

cos

3

3

t

а

у

t

а

х

               



x

y

-? 

Yechish.  

.

cos

sin

sin

cos

cos

sin

)

(cos

cos

3

)

(sin

sin

3

)

cos

(

)

sin

(

2

2

2

2

3

3

tgt

t

t

t

t

t

t

t

t

a

t

t

a

t

а

t

а

у

x



























 

4.Hosilalar jadvali 

   

)

(

),

(

x

v

v

x

u

u





-differensiyallanuvchi  funksiyalar  deb  hisoblab  asosiy 

elementar  funksiyalarning  hosilalari  jadvalini  tuzamiz  va  differensiyallash 

qoidalarini keltiramiz: 

1)  

.

;

0

const

С

С







 

2) 







х

х

,

1

erkli o’zgaruvchi. 

3) 

const

u

u

u





















,

)

(

1

.      4) Xususiy holda 

 

u

u

u









2

1

. 

5) Xususiy holda 

u

u

u























2

1

1

. 

6) 

1

,

0

,

,

ln

)

(

















a

a

const

а

и

a

а

а

и

и

.  7) Xususiy holda 

.

)

(

и

е

e

и

и









 

8)

1

,

0

,

,

ln

1

)

(log















a

a

const

а

и

a

и

и

a

. 9) Xususiy holda 

и

и

и









1

)

(ln

. 

10) 

u

u

u









cos

)

(sin

. 

11) 

u

u

u











sin

)

(cos

. 

12) 

u

u

tgu









2

cos

1

)

(

. 

13) 

u

u

ctgu











2

sin

1

)

(

. 

14) 

и

и











2

1

1

)

arcsinu

(

. 

15) 

и

и













2

1

1

)

arccosu

(

. 

16) 

u

u

arctgu











2

1

1

)

(

. 

17) 

u

u

arcctgu













2

1

1

)

(

. 

18) 

u

chu

shu









)

(

. 

19) 

u

shu

chu









)

(

. 

20) 

u

u

ch

thu









2

1

)

(

. 

21) 

u

u

sh

cthu











2

1

)

(

. 

22) 

v

u

v

u













)

(

. 

23) 

v

u

v

u

v

u















1

)

(

. 

24) 

.

,

,

)

(































const

С

С

u

С

u

u

С

Сu

 

25) 





























2

v

v

u

v

u

v

u

. 

26) 

)

(

),

(

х

u

u

u

f

у





 murakkab funksiyani hosilasi uchun 











х

и

x

u

у

у

 o’rinli. 

27) 

)

(x

f

у



 va 

)

( у

v

x



 o’zaro teskari funksiyalar uchun 







у

х

х

у

1

  o’rinli. 

28) 











)

(

),

(

t

у

t

х





   bo’lsa    









t

t

x

x

у

у

. 

 Izoh. 

 

 

 

x

v

x

u

y



  ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini topish talab etilsa, avval 

berilgan tenglikni e asosga ko’ra logarifmlab keyin tenglikni  x bo’yicha 

differensiallash ma‘qul.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Adabiyotlar 

 

1. 

Т.Азларов,  Ҳ.Мансуров.  Математик  анализ.  1-қисм.  Тошкент 

«Ўқитувчи», 1986. 

2.  А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001. 

3.  Д.В.Клетеник.  Сборник  задач  по  аналитической  геометрии.  Москва, 

«Наука”, 1986. 

4.  В.П.Минорский.  Сборник  задач  по  высшей  математике.  Москва, 

«Наука”, 2000. 

5.  Н.С.Пискунов.  Дифференциал  ва  интеграл  ҳисоб.  1-том,  Тошкент, 

«Ўқитувчи», 1972.