Олий таълим тизими педагог ва раҳбар кадрларини қайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини оширишни ташкил этиш бош илмий-методик маркази

Битирув ишининг назарий ва амалий аҳамияти. “Комплекс сонлар ва уларни татбиқлари” модулини ўқитишда талабалар фаоллигини ошириш технологияларини қўллаш асосида қуйидаги натижалар қўлга киритилади:
1. Талабалар инновацион методлар ва уларнинг моҳиятидан хабардор бўлади.
2. Талабалар таълим жараёнида инновацион методлардан фойдаланишни ўрганади.
3. Талабаларда таълим жараёнида инновацион методлардан фойдаланиш кўникма ва малакалари шаклланади.
Мазкур битирув ишида замонавий тушунча бўлган таълим технологиясида модулли ўқитиш масаласи ёритилиб уни мазмуни ва қўллаш усул, услублари ҳақида мулоҳазалар юритилади, тарихий ёндашув амалга оширилади. Интерфаол технологиялар таҳлил қилиниб услубий тавсия ва мулоҳазалар келтирилади. Буни математика ўқитиш методикаси йўналиши бакалавр талабалари учун ўқитиладиган “Алгебра ва сонлар назарияси” ўқув фанидаги “Комплекс сонлар ва уларни татбиқлари” модули мисолида тушунтирилиб берилади.
Битирув иши тузилмасининг тавсифи: битирув иши кириш, икки боб, олтита параграф, хулоса ва фойдаланилган адабиётлар рўйхатидан иборат бўлиб, биринчи бобда Алгебра ва сонлар назарияси фани ўқитилишининг долзарб масалалари ва тарихий ривожланиши тараққиёти келтирилган. Иккинчи бобда, педагогика олий таълим муассасаларининг бакалавр йўналиши талабалари учун ўқитиладиган Алгебра ва сонлар назарияси фанидаги “Комплекс сонлар ва уларни татбиқлари” модулининг таълим технологияси келтирилган.
Ушбу келтирилган таълим технологияси, “Комплекс сонлар ва уларни татбиқлари” модули мавзуси бўйича олиб борилган ўқитиш тажрибалари ҳамда малака ошириш курсларида эгаллаган малака асосида яратилди.

1- БОБ. “Комплекс сонлар ва уларни татбиқлари” модулини ЎҚИТИШНИНГ НАЗАРИЙ МАСАЛАЛАРИ

1.1 Алгебра ва сонлар назариясининг устувор йўналишлари

Математика фанинг шаклланиш даврига мансуб қадимий соҳалари Сонлар назарияси, Геометрия фанларидан бошлаб, замонавий Алгебра ва сонлар назарияси, Геометрия, Дифференсиал ва интеграл ҳисоб соҳалари реал дунёнинг моделларидир. Бу тушунчаларнинг ҳаммаси инсоният эҳтиёжларидан келиб чиққан. Нарсаларни санаш, Ер ўлчаш, Ҳосилни ўлчаш, савдо, мерос тақсимлаш, ва хўжалик ҳисоби каби тирикчилик учун зарур масалалардан келиб чиққан ва жадал ривожланиб бормоқда.
Математика инсоният цивилизациясининг барча босқичларида мазказий ҳал қилувчи ролни ўйнаб келаётган фандир. Бу фикримизнинг исботини математика ибораси юнонча “матема” - “билим, илм, фан” дейилиши билан ҳам изоҳласа бўлади.
Хусусан алгебра фанимиз тарихида Муҳаммад ал-Хоразмий ўрни беқиёсдир. Буюк математик Муҳаммад ал-Хоразмий дунё фанига ғоят катта хисса қўшган. У алгебра фаниниг асосчиси ҳисобланади. Унинг асарлари Алгебра фанимизни ҳозирги ҳолатга келишига ўз ўрни бор.
Алгебра ва сонлар назарияси фанини ташкил этувчи айрим тушунчалар Қадим Юнонистонга бориб тақалади. Қадимги Юнон математиклари фақат натурал сонларни “ҳақиқий” деб ҳисоблашган, аммо Қадимги Миср ва Қадимги Бобилда янги эрадан икки минг йиллар муқаддам амалий ҳисоб-китобларда касрларни қўллай бошлашган. Сон ҳақидаги тушунча тараққиётидаги навбатдаги муҳим босқич – манфий сонлар бўлди. Уларни хитой математиклари янги эрадан икки аср олдинроқ киритишган эди. Янги эрaнинг III а. да қадимги юнон математиги Диофант манфий сонларни ишлатган. У бу сонлар устидаги амаллар қоидаларини ҳам билган. Ҳинт олимлари VIII а. да манфий сонларни муфассал ўрганишди, улар бу сонларни “қарз” деб талқин қилишган. Манфий сонлар ёрдамида миқдорларнинг ўзгаришини ягона усулда баён қилиш мумкин эди. Эрамизнинг VIII а. даёқ мусбат соннинг квадрат илдизи иккита – мусбат ва манфий қийматга эга эканлиги, манфий сонлардан эса квадрат илдиз чиқариш мумкин эмаслиги, масалан. х²=-9 бўлган х сонини топиб бўлмаслигини аниқлаган эди.
ХVI а. да куб тенгламаларни ўрганиш муносабати билан манфий сонлардан ҳам квадрат илдиз чиқариш зарурати туғилди. Куб тенгламани ечиш формуласида куб ва квадрат илдизлар қатнашади. Бу формула тенглама битта ҳақиқий илдизга эга бўлса, (масалан, х³+3х – 4=0 тенглама учун) бекам-кўст ярайди, тенглама учта ҳақиқий илдизга эга бўлган ҳолда эса (масалан, х³-7х + 4=0 ) квадрат илдиз остида манфий сон ҳосил бўлаверади. Натижада тенгламанинг бу учта илдизини топиш йўли тақиқланган амал – манфий сондан квадрат илдиз чиқариш амали орқали ўтарди. Ҳосил бўлган парадоксни тушунтириш учун италян алгебрачиси Ж. Кардано 1545 й. да янги табиатли сонларни киритишни таклиф қилди. У ҳақиқий сонлар тўпламида ечимга эга бўлмаган , тенгламалар системаси , кўринишидаги ечимларга эгалигини кўрсатди, фақат бундай ифодалар билан одатдаги алгебранинг қоидалари бўйича деб ҳисоблаб ишлашни келишиб олиш (шартлашиб олиш) керак. Кардано бундай миқдорларни “соф манфий” ва ҳаттоки “ғайри-мантиқий манфий” деб атади, уларни фойдасиз деб ҳисоблади ва татбиқ қилмасликка интилди. Бироқ 1572 й. даёқ италян алгебрачиси Р. Бомбеллининг бундай сонлар устида арифметик амалларнинг дастлабки қоидалари берилган китоби чиқди. Китобда бундай сонлардан куб илдиз чиқариш қоидаси ҳам келтирилган эди. “Мавҳум сонлар” номини 1637 й. да француз математиги ва филосифи Р. Декарт киритди, 1777 й. да эса ХVIII а. нинг йирик математикларидан бири Л. Эйлер сонни (“мавҳум” бирликни) белгилаш учун фрабцузча (“мавҳум”) сўзининг биринчи ҳарфидан фойдаланишни таклиф этди; бу символ К. Гаусс туфайли кенг тарқалди (1831). ХVII а. давомида мавҳумликнинг арифметик табиати, уларга геометрик талқин бериш имкониятининг муҳокамаси давом эттирилди.
Комплекс сонлар устида амаллар бажариш техниласи аста-секин ривожлана борди. ХVII ва ХVIII а. чегарасида, аввал, манфий сонлардан -чи даражали илдизларнинг умумий назарияси, кейинчалик эса инглиз математиги А.Муаврнинг формуласига асосланиб ихтиёрий комплекс сонлардан н-чи даражали илдиз назарияси яратилди (1707). Бу формуладан фойдаланиб каррали ёйларнинг косинус ва синуслари учун ҳам тенгликлар келтириб чиқариш мумкин.
ХVIII а. охирида француз математиги Ж. Лагранж мавҳум миқдорлар энди математик анализни қийнамай қўйди, деб айта олган. Математиклар ўзгармас коеффитсиентли дифференсиал тенгламалар ечимларини комплекс сонлар ёрдамида ифодалашни ўрганиб олишди. Бундай тенгламалар, масалан, моддий нуқтанинг қаршилик кўрсатувчи муҳитдаги тебраниш назариясида учрайди. Ундан аввалроқ швецариялик математик Я.Бернулли комплекс сонларни интеграллари ҳисоблашга татбиқ қилди.
ХVIII а. давомида коплекс сонлар ёрдамида кўплаб муаммолар, жумладан, картография, гидродинамикалар билан боғлиқ амалий масалалар ҳам ҳал этилган бўлса-да, бу сонлар назарияси ҳали қатъий мантиқий асосланмаган эди. Шунинг учун ҳам франсуз математиги П.Лаплас мавҳум сонлар ёрдамида олинадиган натижалар – фақат йўлланма, улар бевосита қатъий исботлар билан тасдиқлангандан кейингина чин ҳақиқат характерини олади, деб ҳисоблаган.
Маълумки, математик тушунча ва моделлар универсаллик хусусиятига эга, яъни айнан битта модел физикада ўз маъносига, биологияда ҳам, иқтисодиётда ҳам маълум маъноларга эга. Бундай моделлар табиий фанларда бир асрлардан бери қўлланиб ривожланиб келмоқда. Мематик моделларни психология, жамиятшунослик ва шулар типидаги янги замон фанларида қўллаш ХIХ-ХХ асрларда интенсиве ривожланди. ХХ асрда ижтимоий фанлар муаммоларини ечадиган математиканинг соҳалари вужудга кела бошлади. Кейинги ўн йилликларда Алгебра ва математик анализ усуллари кишилик жамиятининг жараёнларини ва муносабатларини ўрганишда янада чуқурроқ кириб бормоқда.
Ҳозирги замонда иқтисодга, ишлаб чиқаришга қўйилаётган юксак талабларни бажаришда кадрларнинг умумий малакаси олдинги ўринга қўйилмоқда. Бу юксак талаблар ҳамма мутахассисларга тегишлидир.
Бундай юксак вазифаларни ҳар томонлама камол топган, юксак малакали мутахассислар амалга оширади. Юксак малакали мутахассислар тайёрлашда Математика фанининг катта аҳамиятга эга эканлиги ҳеч кимда шубҳа туғдирмаса керак.
Ҳамма соҳаларда математик қонуниятларга асосланган замонавий компъютерларнинг муваффақият билан татбиқ этилиши ҳамда унинг кундан-кунга ривожланиб бораётганлиги, ёш мутахассисларнинг тегишли соҳалар, масалаларининг математик моделларини туза билиши ва унда ҳисоблаш техникасини жорий этиш вазифаларини қўймоқда. Бу масалаларни моделлаштириш математик амаллар ва усуллар ёрдамида амалга оширилади.
Маълумки, математикадаги мавжуд, натурал сонлар, арифметик амаллардан бошлаб, ҳозирги замонавий, чизиқли алгебра ва аналитик геометрия, дифференсиал ва интеграл ҳисоб ҳамда дифференсиал тенгламаларгача тушунчалар реал дунёнинг моделларидир. Бу тушунчаларнинг ҳаммаси инсоният эҳтиёжларидан-нарсаларни санаш, хўжалик ҳисоби каби тирикчилик учун зарур масалалардан келиб чиққан ва ривожланиб бормоқда.
Маълумки, математик тушунча ва моделлар универсаллик хусусиятига эга, яъни айнан битта модел физикада ўз маъносига, биологияда ҳам, иқтисодиётда ҳам маълум маъноларга эга. Бундай моделлар табиий фанларда бир неча асрлардан бери қўлланиб ривожланиб келмоқда. Лекин, ижтимоий (иқтисодиёт, психология, жамиятшунослик ва бошқалар) фанларда қъўллаш ХIХ-ХХ асрларда интенсив ривожланиши билан характерланади. ХХ асрда ижтимоий фанлар муаммоларини ечадиган математиканинг соҳалари вужудга кела бошлади. Кейинги ўн йилликларда математика усуллари, кишилик жамиятининг жараёнларини ва муносабатларини ўрганишда янада чуқурроқ кириб бормоқда. Математика, шундай универсал қуролки, реал борлиқдаги мавжуд боғланиш ва муносабатларни аниқлашда, ҳамда улардан ҳодиса ва жараёнларни илмий баҳолаб башорат қилишда фойдаланиш имкониятлари ривожланиб бормоқда.