Ольга Викторовна Вантеева Елена Николаевна Кравченко Математика программа, методические указания

Тема 4. Дифференциальные исчисления
Производная и дифференциал
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку х Х. Дадим значению х приращение , тогда функция получит приращение .
Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): .
Основные правила дифференцирования
Если С ─ постоянное число, ─ функции, имеющие производные, тогда:


; (I)
; (II)
; (III)
; (IV)
. (V)

Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргу­ментов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. (VI).

Таблица производных основных функций

№	Формула		Формула
1		15
2	(	16
3		17
4	(	18
5		19
6		20
7		21
9		22
10		23
11		24
12		25
13		26
14		27

Пример 14 Найти производные функций:
a) ; b) ; c) .
Решение:
а) функцию можно представить в виде , где . Поэтому, используя правило дифференцирования (VI) и формулы таблицы производных ;
b) функция представлена произведением двух функций, поэтому на основании правила (IV)
c) функцию можно представить в виде , где , используя формулу (26) и правила дифференцирования (V) и (VI) получим:
Определение. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
.
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. . Итак, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .