O‘lchovli vektorlar tartib bilan berilgan

X₁ va X₂, X₂ va X₃, vektorlar ortogonal;

X₁ va X₃, X₄ va X₅, vektorlar collinear

1. 
   X₁ = (1; -2; 0) va X₂ = (2; -3; 1) vektorlarning X_x = 3 va X₂ = 2 koeffitsiyentli chiziqli kombinatsiyasi tuzilsin.
   

2


4


2


5


Yechish.
^X1 X1 +^X2 ^X 2 = ^{3-(1; - 2;0)} + ^{2 - (2; - 3;1)} = ^{(3; - 6;0)} + ^{(4; - 6;2)} =
= (3 + 4; -6 + (-6); 0 + 2) = (7;-12;2)
Javob: (7;-12;2)

2. 
   X = (5; 4) X₂ = (-1; 2) X₃ = (-10; -1) vektorlarning chiziqli bog‘liq yoki chiziqli erkli ekanligi tekshirilsin.
   

Yechish. Vektorlarni chiziqli bog‘liq deb faraz qilib
X^ Xj + X₂ X₂ + X₃ X₃ =в
tenglikni tuzamiz. Bunda X_l, X₂, X₃ lar hozircha noma’lum sonlar. Ularni topishimiz kerak.
X (5; 4) + X (-1; 2) + X₃ (-10; -1)=в, bu yerda в=(0; 0)
(5X; 4X) + (-X₂; 2X₂) + (-10X₃;-X)=в (5X -X₂ - 10 X₃; 4Xj + 2X₂ -X₃) = (0; 0)
5 X - X₂ -10 X₃ = 0 4X + 2X₂ -X₃ = 0 Birinchi tenglamani (2) ga ko‘paytirib, ikkinchisiga qo‘shamiz.
10 X, — 2X — 20 X = 0 3
^ 14X- 2X= 0; X= ³ X 4X+ 2X₂-X₃ = 0 ^{1 3 1} 2 ³
Dastlabki birinchi tenglamaga qo‘yamiz:

⁵\2 ^A:^|^-A2 ^-10A: = ⁰

A=— A,-10A,=-⁵ A
² 2 ^{2 2} 2 ²
Demak,
Ay = — A,
¹ 2 ²
A о = — A

2. 
   2 ²
   

Bunday holatda A₃ ga ixtiyoriy qiymat berishimiz mumkin, masalan, A₃ = 2. Demak,

• 
  5
  

A = — 2=2; A,=--•2 = - 5 ¹ 2 ² 2
A= —; A₂=-5; A₃= 2 deb olinsa, chiziqli kombinatsiya nol vektor 6bo‘lar ekan.
Javob: Vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq.

3. 
   X = (4;2) va X₂ = (1; 2) vektorlarning chiziqli bog‘liq yoki chiziqli erkli ekanligi aniqlansin.
   

Yechish. A_x X + A₂ X =6 bo‘lsin deb olamiz.
A, • (4;—) + A₂(1;2)=6; 6 = (0; 0)
(4A₁;—A₁) + (A2;2A2) = (0; 0)
1^4 a +a₂ = 0 f- 8 a - 2 a = 0
I—A+ 2A= 0 • ^{( 2)} +f —A+ 2A= 0 -5Aj= 0 A= 0 Birinchi tenglamaga qo‘ysak: 4 • 0+A₂= 0, A₂= 0
Demak, A_x X +A₂ X₂ =6 tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun A_x =A₂ = 0 bo‘lishi kerak ekan.
Javob: Berilgan vektorlar chiziqli erkli, ular ikki o‘lchovli har qanday vektorlarning bazisi bo‘la oladi.

4. 
   X=(5;7)vektor X₁ = (4;2), X₂ = (1;2) bazis bo‘yicha yoyilsin.
   

Yechish. X=A X +A X₂ deb olib, bu vector tenglikni koordinatalar orqali yozamiz, o‘ng tomondagi amallarni bajaramiz, so‘ngra chap va o‘ng tomondagi vektorlarning tenglik shartidan foydalanib A_x va A₂ noma’lumlarni topish uchun tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(5; 7) = A₁ (4; 2) + A2 (1; 2) = (4A!; —A!) + (A₂; 2A2) =
=(4 A +A₂; — A+ 2A₂)
Bundan:
f 4A₁+A₂=5 f- 8A₁-2A₂=-Ю 1 ^^-5A₁=- —
f—A+ 2 A = 7 f —A+ 2A= 7 ¹
, — л— * г * 12 12
A) =—; 4 —+ A 2 — 5; A ₂= 5 =—

1. 
   5 5 ^{2 2} 5 5
   

X i	X 2	X 3	X4	X 5
-2	0	1	-1	6
4	1	0	2	12
7	2	1	4	-1
X 3	X 2	X i	X4		X 5
1	0	-2	-1		6
0	1	4	2		12
1	2	7	4		-1
X 3	X 2	X i	X4		X 5
1	0	-2	-1		6
0	1	4	2		12
0	2	9	5		-7
X 3	X 2	X i	X4		X 5
1	0	-2	-1		6
0	1	4	2		12
0	0	1	1		-31
X 3	X 2	X i	X4		X 5
1	0	0	1		-56
0	1	0	-2		136
0	0	1	1		-31

Oxirgi jadvaldan ko‘rinadiki X₃, X₂, X - vektorlar bazis tashkil qiladi. Vektorlarning bu bazis bo‘yicha yoyilmasi:


X1 =1-X,;


X 2 = X 3 =


1-X 2;


1-X 3;


X₄ =1-X - 2 - X₂ +1-X₃


X₅ =-31-X +136-X₂ -56X₃


Javob: X, X₂, X — bazis. Bu bazis bo‘yicha yoyilmalar:


х₄ = x - 2 x + x₃
X =-31X +136 X - 56 X

5. 
   Vektorlar sistemasining bazisi va bu vektorlarning topilgan bazis bo‘yicha yoyilmasi
   determinantlar usuli bilan aniqlansin:
   

X = (11; -1; 4) X2 = (1; -1; 2) X₃ = (3; 2; 0)
^X4 =^{(2; - 2; 4) X}5 =^{(-1; 1; 1}
Yechish. Bu vektorlardan ixtiyoriy uchtasini tanlab olamiz va ular koordinatalaridan
vektorlarni olaylik.
-1 1 1
Д = 1-1 2 = 4 + 4 - 2 + 2 - 4 - 4 = 0

2. 
   - 2 4
   

△=0 bo‘ldi, demak, olingan vektorlar bazis bo‘la olmaydi. X, X, X vektorlarni olamiz.


determinant tuzamiz. X, X, X₄


Д =


1 -1 2 3 2 0 -1 1 1


= 2 + 0 + 6 + 4 + 3 - 0 = 15

	r	1 >		r3	Л
	-	1