Одно из важнейших понятий математического анализа

Определённый интеграл[править | править код]
Основная статья: Определённый интеграл

Интеграл как площадь криволинейной трапеции
Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т. п.
Что такое интеграл, анимация
Рассмотрим фигуру, ограниченную осью абсцисс, прямыми {\displaystyle x=a}  и {\displaystyle x=b}  и графиком функции {\displaystyle y=f(x)} , называемую криволинейной трапецией (см. рисунок). Если по оси абсцисс отложено время, а по оси ординат — скорость тела, то площадь криволинейной трапеции есть пройденный телом путь.
Для вычисления площади этой фигуры естественно применить следующий приём. Разобьём отрезок {\displaystyle [a;b]}  на меньшие отрезки точками {\displaystyle x_{i}} , такими что {\displaystyle a=x_{0}<...{\displaystyle S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)}
Если же теперь увеличивать число точек разбиения, так, чтобы длины всех отрезков неограниченно убывали ({\displaystyle \max \Delta x_{i}\to 0} ), площадь ступенчатой фигуры будет всё ближе к площади криволинейной трапеции.
Поэтому мы приходим к такому определению:
Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек {\displaystyle \xi _{i}} , предел суммы (*) при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции {\displaystyle f(x)}  по отрезку {\displaystyle [a;b]}  и обозначается
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
Сама функция при этом называется интегрируемой (в смысле Римана) на отрезке {\displaystyle [a;b]} . Суммы вида (*) называются интегральными суммами.
Примеры интегрируемых функций:

• 
  непрерывные функции
  
• 
  функции, имеющие лишь конечное число разрывов первого рода
  
• 
  монотонные функции.
  

Пример неинтегрируемой функции: функция Дирихле (1 при {\displaystyle x}  рациональном, 0 при иррациональном). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно в {\displaystyle {\mathbb {R} }} , выбором точек {\displaystyle \xi _{i}}  можно получить любое значение интегральных сумм от 0 до {\displaystyle b-a} .
Между определённым и неопределённым интегралом имеется простая связь. А именно, если
{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}
то
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}
Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.
Интеграл в пространствах большей размерности[править | править код]