Oddiy differensial tenglamalarni taqribiy

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY

YEChISH USULLARI

Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.

Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.

Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.

Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.

§ 7.1. Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)

Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.

Bizga,

y’=f(x,y) (7.1.1)

birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0 - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x0|a; |y-y0|b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.

(7.1.1) dan

dy=f(x,u)dx

ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak

(7.1.2)

Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda

(7.1.3)

Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (7.1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.

(7.1.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:

(7.1.4)

Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u1” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u2(x)” ni hosil qilamiz:

(7.1.5)

Ushbu jarayonni davom ettirsak

(7.1.6)

Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik

u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), (7.1.7)

Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.

Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

Teorema. Agar (x0;u0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va

chegaralangan xususiy hosilasi fy (x,y) mavjud bo’lsa, u

holda Pikar {yi (x)} ketma-ketligi (7.1.1) tenglamaning

yechimi bo’lgan va u(x0)= u0 shartni qanoatlantiruvchi u(x)

funktsiyaga yaqinlashadi.

Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (7.1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (7.1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.

Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x0=0 da u0=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.

Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak

“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:

(7.1.5) ga asosan

Xuddi shuningdek u3 va u4 ni ham hisoblasak

Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u3 va u4 aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.

§ 7.2. Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(7.2.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u’0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(7.2.3)

Bu erda |x-x0| h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.

Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.

Misol.

y”=x2u (7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y(3)=2xy+x2y ’

y(4)=2y+2xy ’+2xy ’+ x2y ’’=2y+4xy ’+ x2y ’’

y(5)=2y ’+4y ’+4xy ’’+2xy ’’+ x2y ’’’=6y ’+6xy ’’+ x2y ’’’

y(6)=12y ’’+8xy ’’’+ x2y(4)

y(7)=20y ’’’+10xy(4)+ x2y(5)

y(8)=30y(4)+12xy(5)+ x2y(6)

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:

y’’(0)=0; y’’’(0)=0; y(4)(0)=2; y(5)(0)=y(6)(0)=y(7)(0)=0;

y(8)(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+a3(x-x0)3+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a0, a1, a2 , ... an topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y’’=x2u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.

Yechish. x0=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:

u=a0 +a1x+a2x2+...+anxn+... (7.2.7)

Bundan ikki marta hosila olsak

y’=a1 +2a2x+3a3x2+4a4x3+...+nanxn-1...

u’’=2a2 +6a3x+12a4x2+...+ n(n-1) an xn-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a0=1; a1=0 ekanligini aniqlaymiz. a0 va a1 ni (7.2.7) ga qo’ysak

u=1+a2x2+a3x3+a4x4...+anxn

Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y’’-x2y =0 foydalanamiz:

2a2 +6a3x+12a4x2+20a5x3+30a6x4+...+ n(n-1) an xn-2–

–x2(1+a2x2+a3x3+a4x4...+ anxn+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz

2a2+6a3x+(12a4–1)x2+20a5x3+(30a6 –a2)x4+(42a7–a3)x5+

+(56a8–a4)x5...=0.

Biz yechimni x0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a2=0, a3=0, 12a4–1=0 .

Bundan a4=; a5=0; 30a6-a2=0; a6=0 ;a7=0 va 56a8-a4=0 x.k.

Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin

u=1+x4+x8...

§ 7.3. Galerkin usuli

Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.

Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin: (7.3.1)

(7.3.2)

(7.3.3)

bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar; -o’zgarmaslar.

Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:

>0, >0.

Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini tanlab olamiz:

1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega S2.

2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar da

chiziqli bog’liq emas.

3)

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi funktsiyalar

S2 to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.

Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.

Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda

(7.3.4)

qidiramiz.

Noma’lum a1, a2,..., an koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:

bu erda

R (x, a1 ,a2 ,... an) = y’’n(x) + p(x)y’n(x) - q(x)yn(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

(7.3.5)

bu erda

Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi.

Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.

Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani

y’’(x)+2xy’(x)-2y(x)=2x2, 0x1,

y’(0)=-2, y(1)+y’(1)=0

taqribiy yechimini toping.

Yechish. Koordinat funktsiyalarni ... , darajali funktsiyalar 1, x, x2, ... kombinasiyasi sifatida olamiz.

funktsiya chegaraviy shartlarni qanotlantirishini xisobga olsak ekanligini topamiz.

funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni

hosil qilamiz.

k,i=1,2 uchun cki va di larni topamiz:

U holda Galerkin tenglamalar tizimidan

noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz:

a1=1,14852, a2=-0,13498.

Natijada, berilgan chegaraviy masalani taqribiy yechimini hosil qilamiz:

y(x)1,094-2x+1,149x2-0,135x3.

§ 7.4. Eyler usuli

Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.

Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.

Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.

Birinchi tartibli differensial tenglamani

y’=f(x,y) (7.4.1)

[a,b] kesmada boshlang’ich shart: x=x0 da u=u0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

[a,b] kesmani x0, x1, x2, ..., xn nuqtalar bilan “n” ta teng bo’laklarga ajratamiz.

Bu erda xi=x0+ih (i=0,1, ..., n), h= – qadam.

(7.4.1) tenglamani [a,b] kesmaga tegishli bo’lgan biror [xk , xk+1] kesmada integrallasak

k

Bu erda y(xk)=yk belgilash kiritsak

uk+1=uk+ (7.4.2)

Bu erda integral ostidagi funktsiyani [xk , xk+1] kesmada o’zgarmas x=xk nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:

uk+1= yk+yk , yk=hf(xk,yk) (7.4.3)

Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (7.4.1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..

Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:

x=x0 da u=u0, z=z0 (7.4.4)

(7.4.4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi

ui+1=yi+yi , zi+1=zi+zi

Bu erda

ui=hf1(xi,yi,zi), zi=hf2(xi,yi,zi), (i==0,1,2, ...)

Misol. Eyler usuli bilan y’=y+(1+x)y2 , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x0=1, u0=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I

xi

yi

f(xi ,yi)

Aniq yechim

0

1

-1

1

-1

1

1,1

-0,9

0,801

-0,909091

2

1,2

-0,8199

0,659019

-0,833333

3

1,3

-0,753998

0,553582

-0,769231

4

1,4

-0,698640

0,472794

-0,714286

5

1,5

-0,651361

-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:

bu erda

.

§ 7.5 Runge – Kutta usuli

Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.

Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.

Birinchi tartibli differensial tenglama y’=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “ui” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.

Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.

Noma’lum funktsiya “u” ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi:

K1(i)=hfi(xi,yi)

K2(i)=hfi(xi +h/2, yi+K1(i)/2)

K3(i)=hfi(xi +h/2, yi+K2(i)/2) (7.5.1)

K4(i)=hfi(xi +h, yi+K3(i))

Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi

yi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6 (7.5.2)

Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (7.5.1) va (7.5.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

yi+1=yi+ yi , (i=0,1,2, ...n) (7.5.3)

Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

(2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

“x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.

Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.

K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.

I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) ni

topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+ yi topiladi. YUqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.

1-Jadval

X

U

u’=f(x,y)

K=hf(x,y)

u

1

2

3

4

5

6

x0

y0

f(x0 ,y0)

K1(0)

K1(0)

x0+h/2

y0+K1(0)/2

f(x0+h/2; y0+K1(0)/2)

K2(0)

2K2(0)

0

x0+h/2

y0+K2(0)/2

f(x0+h/2; y0+K2(0)/2)

K3(0)

2K3(0)

x0+h

y0+K3(0)

f(x0+h; y0+K3(0))

K4(0)

K4(0)

x1

y1=y0+y0

f(x1 ,y1)

K1(0)

K1(0)

x1+h/2

y1+K1(1)/2

f(x1+h/2; y1+K1(1)/2)

K2(0)

2K2(0)

1

x1+h/2

y1+K2(1)/2

f(x1+h/2; y1+K2(1)/2)

K3(0)

2K3(0)

x1+h

y1+K3(1)

f(x1+h; y1+K3(1))

K4(0)

K4(0)

2

x2

y2=y1+y1

Misol. Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan boshlang’ich masalaning

y’= , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.

2-Jadval

i

xi

yi

f(xi, yi)

K=hf(xi, yi)

y1

0

1

1,05

1,05

1,1

0

0,05

0,057262

0,115907

1

1,145238

1,159071

1,310740

0,1

0,114524

0,115907

0,131074

0,1

0,229048

0,231814

0,131074

0,115323

1

1,1

1,15

1,15

1,20

0,115323

0,180807

0,188546

0,263114

1,309678

1,464447

1,477905

1,638523

0,130968

0,146445

0,147791

0,163852

0,130968

0,292889

0,295581

0,163852

0,147215

2

1,2

1,25

1,25

1,3

0,262538

0,344416

0,352591

0,443953

1,637563

1,801066

1,814146

1,983005

0,163756

0,180107

0,181415

0,198301

0,163756

0,360213

0,362829

0,198301

0,180805

3

1,3

1,35

1,35

1,4

0,443388

0,524495

0,551073

0,660028

1,982135

2,153696

2,166404

2,342897

0,198214

0,215370

0,216640

0,234290

0,198214

0,430739

0,443281

0,234290

0,216087

4

1,4

1,45

1,45

1,50

0,659475

0,776580

0,785532

0,912824

2,342107

2,521146

2,533493

2,717099

0,234211

0,252115

0,253349

0,271710

0,234211

0,504229

0,506700

0,271711

0,252808

5

1,5

0,912283

§ 7.6. Chegaraviy masalalarni

chekli ayirmali usullar yordamida yechish

Chegaraviy masalalarni yechish Koshi masalalariga nisbatan ancha murakkab bo’lganligi sababli, bu ko’rinishdagi masalalar ba’zi xollarda Koshi masalasiga keltirib yechiladi, ko’pchilik hollarda esa chekli ayirmali usullardan foydalaniladi, masalan progonka usuli, potokli progonka usuli, differensial progonka usuli va boshqalar.

Aytaylik, ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama

A(x)y”+B(x)y’+C(x)y(x)=F(x) (7.6.1)

chegaraviy shartlar bilan berilgan bo’lsin

(7.6.2)

(7.6.3)

bu erda A(x)0, axb, []+[]>0, i=0,1.

Bu chegaraviy masalani yechish uchun chekli ayirmali usulni qo’llaymiz. Buning uchun [a,b] oraliqni N ta qismga bo’lamiz va h qadamli to’r hosil qilamiz:

h=(b-a)/N; xi=x0+ih, x0=a, xN=b, i=0,N;

bu erda N-oraliqlar soni.

Tenglama koeffitsiyentlari, noma’lum funktsiya va uning hosilalarining xi nuqtadagi qiymatlari quyidagi munosabatlar bilan beriladi:

A(xi)=Ai, B(xi)=Bi, C(xi)=Ci, F(xi)=Fi, y(xi)=yi,

y’(xi)(yi+1-yi)/h, y”(xi)(yi+1-2yi+ yi-1)/h2.

Ba’zan y’(x) ni y’(xi)(yi+1-yi-1)/(2h) ko’rinishida ham yozish mumkin.

U holda (7.6.1) tenglamani x=xi nuqtadagi ifodasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

chegaraviy shartlarni quyidagicha yozib olamiz:

(7.6.5)

(7.6.6)

(7.6.4)–(7.6.6) ko’rinishdagi chekli-ayirmali masalani yechishning juda ko’p usullari mavjud, masalan progonka, differensial progonka, potokli progonka, ortogonal progonka, variasion usullar va boshqalar [Samarskiy A. A. va boshqalar].

Biz berilgan masalani progonka usuli bilan yechamiz. Uning uchun (7.6.4)-(7.6.6) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

(7.6.7)

(7.6.8)

(7.6.9)

Bu erda

Hosil qilingan tenglamalar tizimi (7.6.4)-(7.6.6) ni yechimi o’ng progonka usuli orqali quyidagicha topiladi:

To’g’ri progonka:

bu formulalar orqali ketma-ket yordamchi parametrlar (X1, Z1, X2, Z2, . . . , XN, ZN ) hisoblanadi.

Teskari progonka:

yi-1=Xiyi+Zi

bu formula orqali esa ketma-ket izlanayotgan yechimlar qiymatlari yN, yN-1, yN-2, . . . , y1 hisoblanadi.

Bu o’ng progonka usuli

(7.6.10)

shartlar bajarilganda sonlarni yaxlitlash hatoligiga turg’un bo’ladi.

Agarda

(7.6.11)

shartlar bajarilsa, chap progonka usuli qo’llaniladi:

1)

i=N-1, N-2, . . ., 1

2)

i=0,1, . . ., N-1

Misol: Quyidagi ikkinchi tartibli differensial tenglamaga

y(0)=1, y(1)=0

qo’yilgan chegaraviy masala yechimi to’r usuli yordamida xn=0,1n, n=0,1 . . .,10 nuqtalarda hisoblansin.

Yechish: Berilgan masala uchun chekli ayirmalar sxemasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(1-0,01n)yn-1-2,02yn+(1+0,01n)yn+1=0,0002n2, n=1, 2, . . ., 9, (7.6.12)

y0=1, y10=0 (7.6.13)

Bu algebraik tenglamalar tizimiga o’ng progonka usulini qo’llaymiz. Buning uchun oldin Xn ,Zn lar hisoblanadi:

X1=0, Xn+1=

Z1=1, Zn+1=

n=1, 2, . . ., 9.

So’ng teskari yo’nalishda yechimlar

y10=0, yn-1=Xnyn+Zn, n=10, 9, . . ., 1

topiladi. Hisoblangan qiymatlar quyidagi jadvalda keltirilgan:

n

Xn

Zn

yn

n

Xn

Zn

yn

0

1

2

3

4

5

-

0,00000

0,50000

0,66667

0,75000

0,80000

-

1,0000

0,49000

0,31333

0,22000

0,16000

1,0000

0,81000

0,64000

0,49000

0,36000

0,25000

6

7

8

9

10

0,83333

0,85714

0,87500

0,88889

0,90000

0,11667

0,08286

0,05500

0,03111

0,01000

0,16000

0,09000

0,04000

0,01000

0,0