|
Misol 4.
Ushbu
2
2
2
2
2
2
(
)
, (
)
dx
dy
x
y
t
tx
x
y
t
ty
dt
dt
(13)
sistemani yeching.
Berilgan sistemaning ikkita erkli birinchi integralini topamiz. (13)
dagi tenglamalarni hadma-had bo‘lib, quyidagilarni topamiz:
,
dy
y
dx
x
0,
0.
( )
y
x dy
y dx
d
x
Demak,
1
y
c
x
birinchi untegral.
(13) sistemaning yana bir birinchi integralini quyidagicha topish
mumkin. (13) sistemaning birinchi tenglamasini 2
x
ga ikkinchisini
2
y
ga
ko‘paytiramiz. Natijada quyidagi tenglamalarni hosil qilamiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
2
, (
)
2
d x
d y
x
y
t
tx
x
y
t
ty
dt
dt
(14)
2
2
z
x
y
deymiz va (14) tenglamalarni hadma-had qo‘shamiz:
2
(
)
2
dz
z
t
tz
dt
.
Bundan
2
2
dz
dz
z
t
tz
dt
dt
,
2
2
(
)
(
)
2
d
d
z
t z
dt
dt
kelib chiqadi. Oxirgi tenglamani
integrallab,
2
2
2
2
(
)
2
2
c
z
t z
c
const
yoki
2
2
2
2
z
t z
c
munosabatni topamiz.
168
Oxirgi tenglikka
2
2
z
x
y
ni qo‘yib, berilgan sistemaning quyidagi yana bir
birinchi integralini hosil qilamiz:
2
2
2
2
2
2
(
)(
2 )
x
y
x
y
t
c
.
Topilgan birinchi integrallar erkli (nega?). Demak, (13) sistemaning umumiy
yechimi ushbu
1
2
2
2
2
2
2
(
)(
2 )
y
c
x
x
y
x
y
t
c
munosabatlar bilan beriladi.
Misol 5.
Ushbu
2
2
dx
dy
dz
z
y
z
y
sistemani yeching.
Proporsiyalarning (8) xossasidan foydalanib, quyidagini yozamiz:
2
2
2
2
dx
zdy
ydz
z
y
z
y
Bundan
(
)
dx
d zy
yoki
1
1
(
const)
x
zy
c c
.
Yana bitta birinchi integralni
dy
dz
z
y
tenglikdan topamiz:
0
ydy
zdz
,
2
2
2
2
const
y
z
c
c
.
Endi
2
2
1
2
,
x
zy
y
z
birinchi integrallarning erkli ekanligini tekshiramiz. Buning uchun quyidagi
matritsani tuzamiz:
1
1
1
2
2
2
1
0
2
2
z
y
x
y
z
y
z
x
y
z
Bu matritsaning rangi 2 ga teng (
0
y
yoki
0
z
bo‘lganda). Demak, topilgan
1
2
ва
birinchi integrallar erkli, ya’ni
169
1
2
2
2
x
zy
c
y
z
c
munosabatlar berilgan sistemaning umumiy yechimini aniqlaydi: ikkita
o‘zgaruvchini uchinchisi va
1
2
,
c c
lar orqali (lokal) ifodalash mumkin.
Misol 6.
Quyidagi differensial tenglamalar sistemasini yeching:
2
2
,
,
dx
dy
dz
y
z
x
y
x
z
dt
dt
dt
. (15)
Ikkinchi va uchinchi tenglamalarga ko‘ra
dy
dz
y
z
dt
dt
.
Bundan va berilgan sistemaning birinchi tenglamasidan
(
)
,
d y
z
dx
dt
dt
1
y
z
x c
birinchi integral. (16)
Buni (15) sistemaning birinchi tenglamasiga qo‘yib
x
ga nisbatan tenglama
hosil qilamiz:
1
dx
x
c
dt
Bu birinchi tartibli chiziqli tenglamani yechamiz:
2
1
t
x
c e
c
. (17)
x
uchun bu ifodani (15) ning ikkinchi tenglamasiga qo‘yamiz va
y
ga nisbatan
tenglama hosil qilamiz:
2 2
2
2
1 2
1
2
t
t
dy
y
c e
c c e
c
dt
.
Bu birinchi tartibli chiziqli tenglamani yechib
( )
y
y t
ni topamiz:
2
2 2
1
3
1 2
2
(
2
)
t
t
y
c
c
c c t e
c e
(18)
Endi (17) va (18) ni (16)ga qo‘yib ( )
z t
ni topamiz:
2
2 2
1
3
1 2
2
2
(
2
)
t
t
t
z
c
c
c c t e
c e
c e
. (19)
(17), (18) va (19) formulalar berilgan (15) sistemaning umumiy integralini
ifodalaydi.
Misol 7.
Sistemani birinchi integrallar yordamida yeching
,
,
x
y
z y
x
z z
x
y
.
Tenglamalarni hadma-had qo‘shib topamiz
2
1
(
)
2(
)
(
)
3
t
x
y
z
x
y
z
x
y
z e
c
. (20)
170
Sistemadagi birinchi tenglamadan ikkinchisini va ikkinchisidan uchunchisini
hadma-had ayirib, yana ikkita birinchi integral hosil qilamiz
2
(
)
3
t
x
y
y
x
x
y e
c
, (21)
3
(
)
3 .
t
y
z
z
y
y
z e
c
(22)
Topilgan (20)-(22) birinchi integrallar erkli. Ularni birgalikda yechib, berilgan
sistemaning umumiy yechimini topamiz
2
1
2
3
3
3
3
t
t
t
x
y
z
c e
x
y
c e
y
z
c e
2
1
3
2
2
1
3
2
2
1
3
2
(
2 )
(
)
,
(2
)
,
.
t
t
t
t
t
t
x
c e
c
c e
y
c e
c
c e
z
c e
c
c e
Masalalar
Differensial tenglamalar sistemasini yo‘qotish usuli yordamida yeching
, ...
dx
x
dt
(
1
-
6
):
1.
4
2 ,
2
x
x
y y
x
y
.
2.
,
4
5
x
x
y y
x
y
.
3.
2
cos ,
2
dx
dy
x
y
t
t
dt
dt
y
.
4.
2
1
1
,
dx
dy
y
dt
y dt
x t
.
5.
,
,
x
x
y y
x
z z
x
z
.
6.
,
,
x
x
y y
x
y z
x
y
z
.
Berilgan
funksiya berilgan sistemaning birinchi integrali ekanligini
isbotlang (
7
-
9
):
7.
3
2
( , , )
3 cos
,
cos ,
sin
dx
dy
t x y
y
x
y
y
x
y
x
dt
dt
.
8.
2
2
2
( , , , )
,
2
,
2
,
y
dx
dy
dz
t x y z
xz
yz
z
x
y
x
dt
dt
dt
.
9.
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
,
x
y
z
dx
dy
dz
xz
yz
z
x
y
x
dt
dt
dt
.
Birinchi integralni toping (
10
-
11
):
10.
2
,
dx
dy
t
y
y
dt
dt
x
.
11
.
2
2
,
,
dx
dy
dz
y
z
x
y
x
z
dt
dt
dt
.
Birinchi integrallarni topib, sistemani yeching (
12
-
18
):
12.
2
2
2
2
2
2
(
)
(
1)
(
1)
dx
dy
dz
y
y
x
y x
xy
z x
xy
.
13.
2
2
,
,(
0,
0).
x
x y y
xy
x
y
14.
,
, (
0,
1
)
x
x
xy y
x
xy
x
y
x
.
171
15.
2
2
1
1
,
2
2
dx
y
dy
x
dt
x
dt
y
, (
0,
0)
x
y
.
16.
2
2
,
,
x
x
y
z
y
y
z
z
z
.
17.
2
2
,
,
, (
0)
x
xy
x
y
y
z
yz
x
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
