Oddiy differensial tenglamalar

Aim.uz

Oddiy differensial tenglamalar
Amaliyot darslarida avval
(1)
ko`rinishdagi oddiy differensial tenglamani qanoatlantiruvchi

_funksiyani analitik ko`rinishda topish muammosi qo`yiladi.Ya`ni shunday elementar funksiyani topish kerakki, u (1) tenglamani qanoatlantirsin.
O`z-o`zidan ko`rinib turibdiki, bu muammo  funksiyaning qanday tanlanishiga bog`liq.Shu sababli biz (1) oddiy differensial tenglamaning o`ng tomoniga ko`ra sinflarga ajratishimiz zarur. (1) ko`rinishdagi tenglamaning o`ng tomoniga nisbatan sinflarga ajratish:
I. O`zgaruvchilari ajraluvchi birinchi tartibli oddiy differensial tenglama
(2)
Biz bu tenglamani hamma vaqt integrallab bilamiz. U quyidagicha integrallanadi:



Misol:  oddiy differensial tenglamani hisoblang. Bu yerda , funksiyalar yechimlardir. Boshqa yechimlarni o`zgaruvchilarni ajratib topamiz:
Yechish:


 ga ko`paytirilganda,

ni integrallaymiz:



nC
bunda C>0
agar desak, yuqorida ko`rgan y=0 yechim hosil bo`ladi, barcha boshqa

barcha boshqa yechimlar saqlanadi.
Umumiy yechim:
Endi biz o`zgaruvchini almashtirish yo`li bilan yoki boshqa bir yo`l bilan (2) ko`rinishdagi tenglamaga keltirib so`ng integrallanadigan tenglamalarning ba`zi bir sinflarini sanab o`tamiz.
II. Bir jinsli tenglamalar.
III. Birinchi tartibli chiziqli tenglamalar.
IV. Bernulli tenglamasi.
V. Rikkati tenglamasi. (Bu tenglamani yechish uchun hech bo`lmaganda bitta xususiy yechimini oldindan bilishimiz zarur).
Aslida biz to`g`ridan to`g`ri faqat o`zgaruvchilari ajraladigan tenglamanigina aniq yechimini topib ko`rsata olamiz. Boshqa hollarda faqat shu ko`rinishga olib kelishga harakat qilinadi. Agar biz shu ishni amalga oshirishimiz mumkin bo`lmasa, bu holda biz faqat yechimning mavjudligini isbotlash bilan cheklanamiz. Odatda bunday hollarda yechim aniq qurilmaydi. Lekin uning funksiya sifatida xossalarini o`rganish metodlari mavjud.
(1) tenglamaning yechimi aniq ko`rinishda topib bo`lmaydigan hollardan biri bu to`liq differensialli tenglamadir.
VI. To`liq differensialli tenglama:

Agar tenglamani
 (3)
ko`rinishda yozib olganimizda, uning chap tomonidagi differensial ifoda biror funksiyaning to`liq differensiali bo`lsa, ya`ni

bo`lsa, u holda (3) tenglamaning yechimi oshkormas ko`rinishda topiladi.
Ba`zi hollarda (3) tenglamaning chap tomoni to`liq differensial bo`lmagan holda, maxsus ko`paytuvchilar yordamida uni to`liq differensialga keltirib olish mumkin.
Yuqoridagi mulohazalarga asoslanib talabalar oddiy differensial tenglamalarni yechishda to`g`ri yo`l tanlay olishni o`rganadi va barcha ko`rinishdagi tenglama yechimlarini hamma vaqt ham aniq topib bo`lmasligini tushunib yetadi. Endi yuqoridagi ta`rif va tushunchalar haqida batafsil to`xtalib o`tamiz.

Aim.uz