Oddiy differensial tenglamalar Reja

2-usul. Ixtiyoriy o’zgarmasni varitsiyalash usuli ( Lagranj usuli).

Bir jinsli bo‟lmagan (1) tenglamaning (b(x)¹0) yechimini topish uchun dastavval unga mos bir jinsli (b(x)=0):

^dy + а(x) y = 0,
dx
(11)

tenglamani yechamiz, bu tenglama esa o‟zgaruvchilari ajraladigan tenglamadan iboratdir. Uning umumiy yechimi ( (5), (6) ga qarang):
-_ò a( х)dх

у = Сe ,
(12)

Ravshanki, C – ixtiyoriy o‟zgarmasni o‟z ichiga olgan (12) tenglik bilan aniqlanuvchi funksiya (1) tenglamani
yechimi bo‟la olmaydi, chunki (1) ni chap tomoniga (12) ni va uni hosilasini qoysak
(11) ga asosan nolga aylanadi, ammo o‟ng tomoni b(x) nolga teng emas, agarda C o‟zgarmasni x ning biror C=C(x) funksiyasi deb qaraydigan bo‟lsak,
-_ò a( х)dх

у = С(х)e ,
(13)

funksiya C(x) ni tanlab olish hisobidan (1) tenglamani yechimi bo‟lishi mumkin. (13) funksiyani (1) tenglamani yechimiga aylantiruvchi noma‟lum C(x) funksiyani topish uchun
(13) funksiyani hosilasini hisoblaymiz:

du ₌ dС( x) _{× e}^-_ò ^{a( х)dх} _{- С(x)e}^-_ò ^{a( х)dх} _,
(14)

dx dx

13. 
    va (14) ni (1) tenglamaga qo‟ysak:
    

^dС(x) × e-^ò a( х)dх - С(x)a(x)e-^ò a( х)dх + a(x)С(x)e-^ò a( х)dх = b(x) dx


yoki

dС(x) _{× e}^-_ò ^{a( х)dх} _{= b(x),} dx
(15)

o‟zgaruvchilari ajraladigan va C(x) noma‟lum funksiyali differensial tenglamaga ega bo‟lamiz: (15) ni umumiy yechimi:

1
С(x) = _òb(x)e^ò a( х)dх dx + C ,
C₁=const (16)

C(x) ning topilgan ifodasini (13) tenglikka qo‟yib, (1) tenglamaning izlanayotgan umumiy
yechimini yana (9) ko‟rinishda hosil qilamiz:

• 
  
  ò ^é
  
  _êò
  a( x)dx
  

у = e
ë
b(x)e^ò a( x)dxdx + C ^ù
1 _úû

Bu usulning nomi ixtiyoriy o‟zgarmas C ni x o‟zgaruvchining C(x) funksiyasi deb o‟zgartirganimizdan (ya‟ni, uni variatsiyalaganimizdan) kelib chiqqan.
1-misol: y¢-yctgx=2sinx chiziqli tenglamani ixtiyoriy o„zgarmasni variatsiyalash usuli bilan umumiy yechimini toping.

Yechish: Dastlab, chiziqli bir jinsli y¢-yctgx=0 tenglamaning umumiy yechimini topamiz. O‟zgaruvchilarni ajratsak:

Bu tenglamani integrallab:
^dу - ctgxdx = 0,
y
y¹0, x¹kp, kÎZ.

ln y - ln sin x = ln С
va bundan y=C×sinx. Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz.

y= C(x) sinx va
^dy = ^dC(x) sin x + C(x) cos x.

dx dx

Natijada y va
^dy larning ifodalarini berilgan tenglamaga qo‟ysak:
dx

^dС(x) sin x + C(x) cos x - C(x) sin xctgx = 2sin x, dx
Yoki dC(x)=2dx, bundan esa C(x)=2x+C₁, C₁=const. Bir jinsli tenglamaning yechimidagi C(x) ning o‟rniga topilgan ifodasini qo‟yib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz: y=(2x+C₁)sinx.

2-misol:
^dy - ^{2 у} = x² , (x ¹ 0)
tenglamani yeching.

dx x
Yechish. Bu tеnlаmаni yеchishdа to‟g‟ridan-to‟g‟ri (9) formuladan foydalanib yechamiz:

a(x) = - ² ,
x
b(x) = x²

² dx ^æ

• 
  ² dx ^ö
  

2 ln x ^æ
-2ln x ö

x
ò
у = e
^ç C + _ò x ² e ^{ò x}
_ç 1
è
dx ^÷ = e
÷
ø
ç _2
ç C₁ + _ò x e
ç

^ö 2 2 3 2
è
÷
dx _÷ =
÷
ø

Demak,
2 ^æ 2

2

1
= x _ç C₁ + _ò x ×
è

1
y = x³ + C x².
dx _÷ = x (C₁ + _ò dx)= x (C₁ + x)= x + C₁x x ø

3-misol. §1 ni 2⁰-punktida hosil qilingan
y ^' - ²
x
y = - ⁶
_x 2
tenglamaning yechini keltiramiz.

Bu tenglama birinchi tartibli chiziqli va uni yuqoridagi usul bilan integrallaymiz. Dastlab ozod hadsiz bir jinsli tenglamani qaraymiz:
y ^' = ² y . O‟zgaruvchilarni ajratib va integrallab
x

dy ₌ 2dx
Þ ln y
= 2 ln x + ln C
Þ y = Cx ² .

y x
Endi C=C(x) deb, C ni variatsiyalaymiz va berilgan tenglamaning yechimini y=C(x)x²ko‟rinishda izlaymiz, bu yerda C(x) hozircha noma‟lum funksiya. Natijada

y' = C'(x)x² + 2xC(x)
va y ni berilgan tenglamaga qo‟ysak:

C'(x)x² + 2xC(x) - ² C(x)x² = - ⁶
x x²
bundan

C'(x) = - ⁶
_x 4
bo‟ladi. Integrallab
C(x) = ²
_x3
+ C₁ ,
(C = const)
ni hosil qilamiz. C(x) o‟rniga

topilgan ifodasini qo‟yib, umumiy yechimini hosil qilamiz:

y = C(x)x² = ² + C x ²
yoki
xy = C x³ + 2
masala shartiga ko‟ra, egri chiziq
M (1;2)
nuqta

_x 1 1 0

orqali o‟tishi kerak bo‟ladi, buni e‟tiborga olsak:
1× 2 = С 1³ + 2 , bundan esa
C₁ = 0 va

1
izlanayotgan yechim (egri chiziq) xy=2 ko‟rinishdagi giperboladan iborat bo‟ladi.

Mashqlar.

Quyidagi differensial tenglamalarning umumiy yechimini toping.
(Javoblar)

1. у ^/ - ^{2 у} = х³ .
x
^æ х ⁴
_ç^ç у =
_è 2
ö
+ Сх ² _÷^÷,
ø

2. у ^/ - ³
у = (х -1)^5
æ (х -

3
^ç у =
1)⁶
ö
+ С(х -1)^{3 ÷},



x -1
3. у ^/ - ³ у = х x
2
- х²
ç ÷
è ø
(у = -х² + Сх³ ),

2
æ ^{1 С} ö

4. у ^/ +
у = ^е
x х
ç ^{у = -}
è


2x ²
_е- х ₊
÷
_х2 _ø

Qo‟yidagi differensial tenglamalarning ko‟rsatilgan boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
(Javoblar)
æ ^{+ х} ö

5. у ^/ - уtgx =
¹ , y(0) = 1;
ç ^{у = 1} ÷^,

cos x
_è сosx _ø

6. у ^/ =
у + 1 _,
x
y(1) = 2;
(у = 3х -1),

§4. Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

1⁰.Eng sodda ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.
y"=f(x), (1)
ko‟rinishdagi tenglamalarga eng sodda, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar deyiladi, bu yerda f(x) funksiya xÎX oraliqda berilgan, uzluksiz funksiya.
Bunday tenglamalarni

у ^/ = ^dy = p, dx
(2)

ya‟ni, x ning yangi noma‟lum funksiyasini kiritish usuli bilan yechiladi. (2) tenglikdan hosila olsak,

Bundan
_у //
₌ dр ₌
dx
f (x),

dр ₌
dx
f (x),
(3)

p noma‟lum funksiyaga nisbatan sodda birinchi tartibli tenglamaga ega bo‟lamiz. (3) ni integrallasak:
р = _ò f (x)dx = F(x) + C₁ , bo‟ladi, bu yerda F(x) funksiya f(x) ning biror boshlang‟ich funksiyasi, C₁ – ixtiyoriy o‟zgarmas haqiqiy son.

(2) tenglikka ko„ra

dy

= F (x) + C₁ ,
dx
(4)

yana eng sodda birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz, uni integrallasak:
y = _ò[F(x) + C₁ ]dx + C₂ = _ò F(x)dx + C_{1 ò} dx + C₂ =

= Ф(x) + C₁ × x + C₂ ,
bu yerda Ф(x) funksiya F(x) ning boshlangich funksiyalaridan biri, С₂ esa ikkinchi ixtiyoriy o‟zgarmas son.
(5)

Shunday qilib, (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi (5) tenglik bilan aniqlanadi. (1) tenglamaning biror xususiy yechimini topish uchun С₁ va С₂ o„zgarmaslarni qiymatlari aniq bo„lishi lozim, buning uchun boshlangich shartlar qo‟yidagicha beriladi: x=x₀ da y(x₀)=y₀, y¢(x₀)= y₀¢, bu yerda x₀ÎX, tayin son, y₀, y₀¢ lar ham berilgan aniq sonlar.

2
Misol: y"=1+2x tenglamani y(0)=1 va y¢(0)=-1 boshlang‟ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.

Yechish: (2) ga asosan
р = _ò(1 + 2х)dx + C₁ = х + x
+ C₁ ,
yoki
^dy = x + x ²
dx
+ C₁ .

Bu tenglamani yana bir marta integrallab:

у = _ò (
х + х² + C )
_x2

1
dx + C₂ =
_x3
+ + C₁ х + C₂ ,
umumiy yechimini topamiz.

2 3
Endi xususiy yechimni topish uchun
^æ x² x^{3 ö}

у(0) = 1 = _ç^ç +
_è 2
+ C₁ х + C_{2 ÷}^÷ _х=0 =C₂
3 _ø

1
у ^/ (0) = -1 = (х + х² + C )


х=0
=C₁
tengliklardan C₂=1 va C₁=-1 larni topib, umumiy

yechimdan:
у = ^x
+ ^x - х + 1


izlangan xususiy yechimni hosil qilamiz.

3

2
2 3

Tekshirish: topilgan xususiy yechimdan
у ^/ = х + х² -1,
у ^// = 1+ 2х,
ya‟ni bu yechim

berilgan tenglamani va shuningdek y(0)=1, y¢(0)=-1 berilgan boshlang‟ich shartlarni ham qanoatlantirishi kelib chiqadi.
Izoh. Ba‟zi bir 2-tartibli tenglamalarni yechishda (2)
y' = ^dy = p almashtirishdagi p yangi no‟malum funksiyasi x ning funksiyasi emas,
dx

balkim y ning funksiyasi deb olishga to‟g‟ri keladi: tartibli hosila uchun
^{y' = dy = p = p( y)} . U holda ikkinchi
dx

_{y'' =} dp ₌ dp dy _{= p} dp
bo‟ladi, chunki
^dy = p.

dx dy dx dy dx
Endi konkret misolga murojat etamiz.

Misol.
y'' = 2 yy
tenglamani yeching.

Yechilishi:
y' = p,
y'' = p ^dp , ni e‟tiborga olsak:
dy
p ^dp = 2 yp . Agar p=0 bo‟lsa, (2) dan
dy

y' = 0,
y = C = const yechimini topamiz.
p ¹ 0 bo‟lsa

^dp = 2 y dy
Þ dp = 2 ydy,
_ò dp = 2_ò
ydy + C,
p = y ² + C ² ,
(C =C ² ) Natijada
y' = p ga

1

1
asosan ushbu birinchi tartibli tenglamaga kelamiz:

y' = y ² + C ²
Þ ^dy = y ² +C ² Þ
^dy = dx Þ

1
¹ dx
¹ y ² +C ²

¹ arctg ^y C₁ C₁
= x + C
Þ arctg ^y
C₁
= C₁x + C_2,
(C₂
= C₁ × C ) umumiy yechiumni hosil qilamiz,

bu yerda
C₁ ,C₂ - ixtiyoriy o‟zgarmaslar.
y

Javob. y=C va arctg
C₁
= C₁ x + C₂