Oddiy differensial tenglamalar Reja

Mashqlar.

(Javoblar)

1. 1 - y ² dx +
1 -x² dy = 0 ; (у = С
1 -х² +
æ
1 -С ² х = 0);
ö

2. у ^/ =
1 + y _;
^ç у - С
^{1 + х} + 1 = 0^÷ ;


1 - x^2
ç 1 - х ^÷

ø

è
3. x(1+y²)dx=ydy; (у ² +1 = Се ^х2 ,)

4. = ; (

2 + у ² =

+ С),

dy ^x



dx _y
2 + y ²
1 + x ²

5. 
   у ^/
   

= 10^{x+ y} ;
(10^x +10^{- у} = С),
^æ x ^{2 ö}

5. 
   у ^/
   

= (1+ y ² )(1 - x);
_ç^ç arctgy +
è
- x = C,_÷^÷
2 _ø

3.⁰ Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar.

Agarda M ko‟phadning barcha hadlari x va y larga nisbatan bir xil darajaga ega bo‟lsa, bunday ko‟phadga bir jinsli ko‟phad deyiladi, masalan: M₁=x²y+xy²+y³, ko‟phad 3-

darajali, M₂= 2x²+3xy+5y² ko‟pxad 2-darajali, M₃=2 darajali bir jinsli ko‟phadlarga misol bo‟ladi.
Rdx+Qdy=0, (1)
+ 5х - 7 у
ko‟pxad esa 1-

ko‟rinishdagi tenglamada R va Q x va y ga nisbatan bir xil darajali ko‟phaddan iborat bo‟lsa, bu tenglamaga bir jinsli differensial tenglama deyiladi.
Bunday tenglamani qanday yechishni aniq misolda ko„rsatamiz. Misol.
y²dx+(x²-xy)dy=0, (2)
tenglamani yechishni qaraymiz, bu yerda R=y² va Q=x²-xy bo‟lib, ular 2-tartibli bir jinsli funksiyalardir, shu sababdan (2) tenglama bir jinslidir. (2)dan

dy ₌
dx
_y 2
,
xy - x ²
(3)

y=zx (4)
almashtirish bajarsak, bu yerda z, x ning yangi funksiyasi, (4) ni differensiallab

^dy = z + x ^dz ,
(5)

dx

3. 
   va (5) dan y va
   

dx
^dy larni qiymatlarini (3) tenglamaga qo‟ysak:
z + x ^dz =


_z 2 _x2
,

yoki
dz z ²
dx


dz z
dx zx² - x²

z + x =
dx



z -1
bundan
x =
dx z -1
o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo„lamiz.

O„zgaruvchilarni ajratsak
z -1 _{dz =} dx

z x
yoki
æ ¹ ö

ç^{1 -}
_÷dz = ^dx . Bu tenglikni integrallab
z - ln z
= ln x + ln С ,
C ¹ 0 -o‟zgarmas son.

_è z _ø x

z=lne^z ni e‟tiborga olib lne^z=lnçCxzç yoki e^z=Czx, (4) dan
(2) yoki (3) tenglamani umumiy yechimini topamiz:
y
z = ^y ni ohirgi tenglikka qo‟yib,
x


e ^x = Сy,

Mashqlar.

Qo„yidagi tenglamalarni umumiy yechimini toping.
(Javoblar)
æ ^y ö
ç ÷

1.(x+y)dx+xdy=0;
_{ç e} x
è
= Cx _÷,
ø

2 2 _æ ^{y 2} _ö

2. у ^/ = ^{х + y} ;
xу
ç _e ^{2 x}
ç
è
æ arctg ^y
ç
= Cx ^÷,
÷
ø
ö
÷

3.(x+y)dx+(y-x)dy=0;
_ç e ^x = C
è
x ² + y ² _÷,
ø

æ - ^x ö

4.xdy-ydx=ydy;
_{ç e} y
ç
è
æ
= Cy ^÷,
÷
ø
_y 2 _ö

5.(x²-2y²)dx+2xydy=0;
^ç xe ^x2
ç
è
= C ^÷.
÷
ø

Ushbu

4⁰_. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

^dy + a(x) y = b(x), dx
(1)

ko‟rinishdagi tenglamalarga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deyiladi,

tenglamani chiziqli deyilishiga sabab, noma‟lum y funksiya va uning hosilasi
_{у / =} dy
dx

birinchi darajada tenglamada qatnashyapti, bu yerda a(x) va b(x) xÎX da berilgan, aniqlangan va uzluksiz funksiyalardir. Xususiy holda a(x) va b(x) lar o‟zgarmas sonlar ham bo‟lishi mumkin.
Agar (1) tenglamaning o‟ng tomoni b(x)¹0 bo‟lsa, bu tenglama chiziqli bir jinsli bo‟lmagan tenglama deyiladi. Agar b(x)=0 bo‟lsa (1) tenglama chiziqli o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama bo‟ladi. b(x)¹0 bo‟lsin, ya‟ni (1) tenglama bir jinsli bo‟lmasin deylik. (1) tenglamani o‟rniga qo‟yish usuli (Eyler-Bernulli metodi) bilan yechishni qaraymiz. (1) tenglamada erkli o‟zgaruvchi x ni o„zicha qoldirib,
y=u×v , (2)
(bu yerda u va v – o„zgaruvchilar x ning yangi uzluksiz funksiyalari) formula bo‟yicha almashtirish bajaramiz. (2) dan x bo„yicha hosila olsak,

dy _{= u} dv _{+ v} du _,
(3)

dx dx dx

(2) va (3) ni (1) ga qo‟ysak
v ^du + u^{é dv} + a(x)v^ù = b(x),

(4)

dx ^ê_ë dx ^ú_û

Endi v funksiyani shunday tanlaylikki,
^dv + a(x)v = 0,
dx

(5)

tenglik o‟rinli bo„lsin. (5) tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak,
^dv = -a(x)dx, v
(v ¹ 0)

Bu tenglikni integrallab quyidagini topamiz.

ln v = -_ò a(x)dx + ln С ,
-_ò a( x)dx
(С ¹ 0 - ixtiyoriy o„zgarmas son) yoki

v = Сe ,
(6)

v funksiyaning bu qiymatini (4) ga qo‟ysak, u funksiya uchun o„zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

Сe-^{ò
a( x)dx} du
×
dx
= b(x),
(7)

Bu tenglamaning ikkala qismini yerdan
_eò a( x)dx_dx
ga ko‟paytiramiz
Сdu = b(x)e
_ò a( x)dx_dx
, bu

^é ò
1
u = _{C êëò}b(x)e
a( x)dx
dx + C ^ù,
1 _úû
C₁ = const
(8)

(7) va (8) ni (2) ga qo‟ysak, (1) tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz:

у = e
-_ò a( x)dx <sub>é

ò</sub>b(x)e
ê_ë
ò a( x)dx
dx + C ^ù,
1 _úû
(9)

Ko‟pincha, (5) tenglamani (6) umumiy yechimida C=1 deb olish, ya‟ni (5) ning noldan

farqli birorta xususiy yechimini

• 
  a( x)dx
  

ò
v = e deb olsa ham bo‟ladi. Yuqorida ko‟rib

chiqilgan o‟rniga qo‟yish usuli bitta (1) chiziqli tenglamani
integrallash masalasini o‟zgaruvchilari ajraladigan ikkita (5) va (7) tenglamalarning yechimlarini topishga olib keladi.
Agar (1) tenglamaning y(x₀)=y₀ boshlangich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish kerak bo‟lsa, (9) umumiy yechimdagi aniqmas integrallarni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integrallar bilan almashtirish qo‟laydir. Bunday almashtirishda (9) formula ushbu ko‟rinishni oladi:

é
x

• 
  _ò a(t)dt
  

t

o

ù
_ò a(s)ds

у = e ^{xo
ê x} x

ê

ê
_ò b(t)e x_o
ë
ú
dt + C_{1 ú},
ú_û
(10)

bu yerda x₀ –ixtiyoriy tayinlangan son, x₀ÎX. (10) tenglikdan y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartga ko„ra C₁ o‟zgarmasni qiymatini aniqlash mumkin:
^xо é ^t ù

• 
  
  0
  _ò ^a(t)dt x
  

x _ê
ò a(S )dS _ú

у(х_о ) = у₀ = e ^o
_ê ò

x
_êë 0
b(t)e ^xo
dt + C_{1 ú},
ú_û
chegaralari bir xil bo‟lgan aniq

integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgan aniq integrallarni qiymati nolga teng bo‟lgani uchun C₁=y₀ ni topamiz. Natijada (1) tenglamani y(x_o)=y₀ boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini qo‟yidagi shaklda hosil qilamiz.

x é
- _ò ( ) _ê
t

ù
_ò a(S )dS
_x ú

у = e
a t dt
x_o
ê ^у₀ ⁺
ê
ê_ë
x
_ò b(t)e ^o
x₀
^dt ú^,
ú
ú_û

Misol . х ^{2 dy} - 2xy = 3 tenglamani yeching.
dx
Yechish : Avvalo berilgan tenglamani (1) chizikli tenglama shakliga keltirish uchun uni ikkala tomonini x²¹0 ga bo‟lamiz:
dy _{- 2 ×} y ₌ 3
dx x x ²

y = u × v ni va
dy _{= u} dv _{+ v} du
larni tenglamaga qo‟ysak:

dx dx
u( ^dv - 2 × ^v ) + v ^du = ³
dx
(*) v ni shunday tanlaylikki

dx x
dx x²

^dv - 2 ^v = 0 bo‟lsin. Oxirgi tenglamada o„zgaruvchilarni ajratsak:
dx x

dv _{= 2} dx _,
(v ¹ 0, x ¹ 0) integrallab
ln v = 2 ln x , v=x²; v ni bu qiymatini (*) ga qo‟yib u

v x
ni aniqlaymiz.
_{х 2} du ₌ 3 _,
dx x ²

O‟zgaruvchilarni ajratamiz:
du = ³
_x 4


dx,


_ò du = 3_ò


x^-4 dx
u = - ¹
_x3

• 
  C;
  

u va v ning topilgan qiymatini y=u×v ga qo‟ysak, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

у = u × v = (- ¹
_x3
+ C)x² = - ¹ + Cx ²
x