Oddiy differensial tenglamalar Reja

y = у₀ + _ò f (t)dt
x_o
(5)

(5) dan agar x=x₀ bo‟lsa, darxol y(x₀)=y₀, ya‟ni (3) boshlang‟ich shartni bajarilishi kelib
x

chiqadi. Agar
( _ò f (t)dt)^/ =

х
x_o
f (x) tenglikni o‟rinli ekanligini e‟tiborga olsak, (5) tenglik bilan

aniqlanuvchi y funksiya (1) tenglamani qanoatlantirishini ham ko„rsatish mumkin, ya‟ni (5) ni har ikkala tomonidan x bo„yicha hosila olsak:

х

0
у ^/ = ( у + _ò
х_о
f (t)dt) ^/
х
= ( y₀
х
)^/ + ( _ò
х_о
f (t)dt)^'
= 0 + f (x) =


f (x) ekanligi kelib chiqadi.

x
Misol: y¢=3x²+2x+1, xÎR, differensial tenglamani y(1)=3 boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish. Avvalo umumiy yechimni topamiz:
х

1
у = _ò (3t ² 1
+ 2t + 1)dt + C = (t ³

• 
  t ²
  
• 
  t) ^x +C =
  

= x³ + x ² + x -1 -1 -1 + C = x³ + x ² + x - 3 + C,
y = x³ + x² + x - 3 + C
Endi xususiy yechimni topish uchun umumiy yechimda x=1, y=3 deymiz va C=3 ni aniqlaymiz. Demak, izlangan xususiy yеchim:
y = x³ + x² + x;
ko„rinishda bo„ladi.

2⁰ y' = g( y)
ko‟rinishdagi tenglamalar ham eng sodda birinchi tartibli tenglama deyiladi, bu

yerda g(y),
y ÎY
oraliqda aniqlangan, uzluksiz va nolga aylanmaydi deb faraz qilamiz. Agar

y' = ^dy = ¹
_dx dx
dy
y' = ^dx = ¹
ni e‟tiborga olsak, berilgan tenglama o‟rniga
tenglamani hosil qilamiz.

dy g( y)

Ravshanki,
F ( y) =
1



g( y)
funksiya Y oraliqda uzluksiz bo‟ladi, chuinki
g( y) ¹ 0,
"y ÎY . Shu

sababdan ohirgi tenglamaning umumiy yechimi

x( y) = _ò
dt g(t)

• 
  C,
  

(C = const),
(7)

0

ko‟rinishda bo‟ladi. Agar
^x y= y
= x₀ ,
(8) boshlang‟ich shart berilsa, 1
–punkitdagidek

0
mulohozalar yuritsak (6) ni (8) boshlang‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi ushbu ko‟rinishda bo‟lishiga ishonch hosil qilish mumkin :

Misol. y' = ³ y ²
x
x( y) = x₀ + _ò
x_o
tenglamani yeching.
dt _,
g(t)
y ÎY ,
y₀ ÎY ,

(9)

Yechilishi : Ravshanki, y=0 (ox o‟q) berilgan tenglamaning yechimi bo‟ladi. Endi O„zgaruvchilarni ajratib topamiz:
y ¹ 0 bo‟lsin.

2
^dy = dx Þ



_y 3
_- 2
y ³ dy = dx.

integrallab, umumiy yechimini topamiz:
_- 2 1


(x + C)³

_ò y ³ dy = _ò dx + C
Þ 3y ³ = x + C
yoki
y = ,
27
C = const

Topilgan umumiy yechimga mos integral egri chiziqlar oilasi kubik parabolalardan iborat. y=0 yechim (ox o‟q) ning har bir nuqtasi orqali berilgan tenglamaning yana bitta integral chizig‟i (kubik parabola) o‟tadi. y=o yechim esa umumiy yechim tarkibida bo‟lmayanti va undan C o‟zgarmasning hech qanday konkret qiymatida hosil bo‟lmasligini alohida qayt etamiz. Bu y=0 (ox o‟q) yechimga berilgan tengamaning maxsus yechimi deyiladi. M(a,0), ( - ¥ < a < ¥)

nuqtalar esa maxsus nuqtalar bo‟ladi. Umuman
y = j(x) chiziq faqat maxsus nuqtalardan

iborat bo‟lib, differensial tenglamaning integral chizig‟i bo‟lsa, u holda
maxsus yechim deyiladi.
y = j(x) funksiya

Mashqlar.

Quyidagi ko‟rsatilgan differensial tenglamalarning yechimlarini toping.


(Javoblar.)
^æ x^{3 ö}

1. у ^/ = 2sin 2x + x² - 2;
_ç^ç у = -cos 2x +
è
- 2x + C;_÷^÷
3 _ø

2. 
   у ^/
   

= 3^{2 x} + е^{- x} +1 ,


2
у(0) = -1;
æ
_ç^ç у =
è


₃2 x



2 ln 3

• 
  e^{- x} + x -
  

1


2 ln 3

ö
;_÷^÷

ø

2. 
   у ^/
   

æ
= ^x + х
1 + x²
1 + х;
² ₂ ² ö

ç ^{у = х - arctgx +}
è
(1 + x) ×
5
- (1 + х) 3
^{1 + x + C;}÷
ø

2. 
   у ^/ = xе^{2 x} ;
   

у(0) = 1;
æ
ç ^{у =}
è
æ
^х _е2 х _-
2
1 1
¹ _{е2 х +} ⁵ ö

;

÷
4 4 _ø
ö

2. 
   у ^/
   

= sin ² x;
ç ^{у =}
è
^æ х^{3
х - sin 2x + C;}÷
2 4 _ø
1 1 ^ö

2. 
   у ^/
   

= (х + ¹ )² + sin х cos x; x
_ç^ç у =
è
+ 2x -
3

• 
  cos 2x + C;_÷^÷ x 4 _ø
  

Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

1⁰.O’zgaruvchilari ajralgan tenglamalar.
Ushbu
M(x)dx+N(y)dy=0, (1)
tenglamaga o‟zgaruvchilari ajralgan tenglama deyiladi.ya‟ni dx oldidagi ko‟paytuvchi faqat x ga bog‟liq funksiya, dy oldidagi ko‟paytuvchi esa faqat y ga bog‟liq bo„lgan funksiyadan iborat . (1) da M(x) funksiya xÎX da, N(y) funksiya esa yÎY da aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiyalardir.
Agar y=j(x) funksiya bu tenglamaning yechimi bo„lsin deb faraz qilsak, dy=j¢(x)dx ni hisoblab (1) tenglamadagi y va dy lar o‟rniga j(x) va j¢(x)dx ifodalarni qo„ysak, yechimni ta‟rifiga ko‟ra M(x)dx+N[j(x)]j¢(x)dx=0 ayniyatni hosil qilamiz. Bu ayniyatni integrallab

_ò M (x)dx + _ò N[j(x)]j ^/ (x)dx = C,
(2)

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda chap tomonda M(x) va N[j(x)] j¢(x) funksiyalarning boshlang‟ich funksiyalari, o‟ng tomonda esa har ikkala integralning ixtiyoriy o„zgarmaslari bir ixtiyoriy o„zgarmas qilib yozilgan C turibdi.
Ikkinchi integralda j(x)=y deb o‟zgaruvchini almashtirish bajarsak (2) tenglik ushbu ko‟rinishga keladi:

_ò M (x)dx + _ò N ( y)dy = C,
(3) tenglik (1) tenglamaning umumiy integralidir.
(3)

Agar (1) ni y(x₀)=y₀, boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish kerak bo„lsa,

3. 
   umumiy yechimni yuqori chegarasi o‟zgaruvchi bo‟lgan aniq integral shaklda olish qo„laydir, ravshanki C=0 bo‟ladi:
   

x ^y

_ò M (t)dt + _ò N (s)ds = 0,
(4)

x_o y₀
Misol: xdx+ydy=0 tenglamani y(1)=1 boshlangich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
x ^y
Yechish. _òtdt + _ò sds = 0
1 1

2

2
t ₊ s
^y = 0 ,
x _- 1 ₊ y
- ¹ = 0 , x²+y²=2

2 2 ¹
   

2

2
2 2 2 2

Demak, hususiy yechim markazi O(0;0) nuqtada, radiusi esa
ga teng aylanadan iborat.

Umumiy yechim esa x²+y²=C², (C- ixtiyoriy o‟zgarmas son) markazi koordinatalar boshida joylashgan konsentrik aylanalardan iborat bo„ladi.

.O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar.

O„ng tomoni ikkita funksiyaning ko„paytmasidan iborat bo„lib, ulardan biri faqat x ga bog‟liq, ikkinchisi esa faqat y ga bog‟liq bo„lsa, ya‟ni
y¢=f(x)×g(y), (1)
bunday ko„rinishdagi differensial tenglamaga o„zgaruvchilari ajraladigan tenglama deyiladi. (1) da f(x), xÎX da, g(y) yÎY da aniqlangan, berilgan uzluksiz funksiyadir, g(y)¹0, "yÎY. (1) tenglama o‟zgaruvchilari ajralgan tenglamaga keltirib yechiladi. Buni uchun (1) tenglamaning ikkala tomonini g(y)¹0 ga bo„lamiz va dx ga ko„paytiramiz,

natijada o„zgaruvchilari ajralgan
dy ₌
g( y)
f (x)dx tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglikni

integrallab umumiy yechimini topamiz:
dy
_{ò g( y)} = _ò f (x)dx + C,


C = const

Agar y=y₀ da g(y₀)=0 bo„lsa, (y=y₀ÎY), y₀- (1) ni yechimlaridan biri bo„ladi, chunki (y₀)¢=0 va f(x)×g(y₀)= f(x)×0=0, ya‟ni (1) tenglama 0º0 ayniyatga aylanadi. (1) ni y(x₀)=y₀
^y ds ^x

boshlanag‟ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi esa _{ò g(s)} = _ò f (t)dt
ko‟rinishda

bo„lishini ko‟rsatish qiyin emas.
y₀ x₀

1-misol.
dy 1 + y ²
= differensial tenglamani umumiy yechimi topilsin.
dx 1 + x ²

Yechish: g(y)=1+y² yÎR da hech qayerda nolga aylanmaydi, o„zgaruvchilarni ajratib integrallaymiz.

dy
^ò1 + y ²
= ^dx + C

ò
1 + х ^{2 1}

arctgy=arctgx+arctgC , (C₁=arctgC deb oldik), oxirgi tenglikni tangenslab umumiy yechimni hosil qilamiz.
_{у =} х + С
1 - хС

2-misol.
y' = ^y x
tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. O‟zgaruvchilarni ajratib:
dy ₌ dx
( y ¹ 0) , integrallab topamiz.

ln y = ln x + ln C ,


(C ¹ 0) Þ
y x
y = Cx,

Agar
x₀ = 1,
y₀ = 1
yoki
y _x=1 = 1shartga mos xususiy yechimni topish kerak bo‟lsa,

y=Cx umumiy yechimdan, C=1 ni topamiz. Xususiy yechim esa: y=x bo‟ladi.

Endi x=0 da y=0, ya‟ni
y _x=0 = 0 shartga mos yechimni

topaylik. Umumiy yechim y=Cx dan 0 = С × 0 , bu tenglik C ning bitta emas, balki har qanday qiymatida o‟rinli bo‟ladi. Ya‟ni, (o,o) nuqtadan cheksiz ko‟p y=Cx to‟g‟ri chiziqlar

o‟tadi. Shu sababdan ham, (o,o) nuqta
y' = ^y x
differensial tenglamaning maxsus nuqtasidan

iborat. Oy o‟qda yotuvchi nuqtalar ham maxsus nuqtalardir. y=Cx umumiy yechim geometrik jihatdan koordinatalar boshidan o‟tuvchi barcha to‟g‟ri chiziqlar (Oy o‟qdan tashqari) to‟plamini beradi. Oy o‟qda yotmagan har bir nuqta orqali bu to‟plamning yagona to‟g‟ri chizig‟i o‟tadi. Koordinatalar boshi orqali cheksiz ko‟p integral egri chiziqlar o‟tadi. Shuni takidlaymizki, Oy o‟qda yotgan va koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushmaydigan maxsus nuqtalar orqali birorta ham integral chiziq o‟tmaydi.

3-misol.
y' = - ^y
x
tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechilishi. Tenglamada o‟zgaruvchilarni ajratib, integrallaymiz:

dy _{= -} x
Þ ydy = -xdx,
_ò ydy = -_ò xdx Þ

dx y

2

2

2
y _{= -} x ₊ C
2 2 2

yoki
x² + y ² = C ² , bu yerda C>0 ixtiyoriy haqiqiy son
Tenglamaning umumiy yechimi markazi O(0;0) koordinata boshida joylashgan

radiusi esa R=C ga teng bo‟lgan konsentrik aylanalardan iborat (4-chizma) bo‟ladi.

Xususan, A(4;-3) nuqtadan o‟tuvchi yechimni topish uchun
x² + y ² = C ² ,
umumiy

yechimdan
4² + (-3)² = C ² ,
C ² = 16 + 9 = 25
C=5 ni topamiz, Demak, izlangan xususiy

yechim:
x² + y² = 25 bo‟ladi.

Takidlaymizki, O(0;0) nuqta orqali birorta ham aylana (integral chiziq)o‟tmaydi, bu maxsus nuqta hisoblanadi. Shu sababdan ham berilgan tenglamaning umumiy yechimi markazi teshilgan nuqta (markazi O(0;0) nuqta teshib olib tashlangan) bo‟lgan aylanalar oilasidan iborat deb tushunish lozim.

Differensial tenglamalarni yeching.