Оддий дифференциал тенглама Эйлер усулида ечиш

Тақрибий усулларда дифференциал тенглама ва қўшимча шартлар у ёки бу даражада соддалаштирилиб, масала осонроқ масалага келтирилади.
Сонли усулларда эса ечим аналитик шаклда эмас, балки сонлар жадвали кўринишида олинади. Албатта бунда дифференциал тенгламалар олдин дискрет тенгламалар билан алмаштириб олинади. Натижада сонли усуллар воситасида олинган ечим ҳам тақрибий бўлади.
Умуман олганда, оддий дифференциал тенгламаларнинг ечимларини аналитик усул ёрдамида топиш имкони жуда кам бўлганлиги учун, амалда кўпинча уларни сонли усуллар ёрдамида тақрибий ҳисобланади.


Эйлер усули


Бизга қуйидаги биринчи тартибли дифференциал тенглама (Коши масаласи) ни
(2)
оралиқдаги бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш лозим бўлсин.
Коши масаласини Эйлер усули ёрдамида ечиш учун, дастлаб дифференциал тенгламанинг ечими қидириладиган кесмани тугун нуқталар билан бўлакларга бўламиз. Тугун нуқталарнинг координаталари формула орқали аниқланади. Ҳар бир тугунда ечимнинг қийматларини чекли айирмалар ёрдамида тақрибий қийматлар билан алмаштирилади.
Маълумки, функциянинг нуқта атрофидаги Тейлор қаторига ёйилмасини қуйидагича ёзиш мумкин:

Ушбу чексиз қаторнинг бошидаги иккита ҳад билан чегараланиб, биринчи тартибли ҳосила қатнашган ҳадни аниқлаш натижасида қуйидаги чекли айирмали формулани ҳосил қиламиз:
(3)
(2) ва (3) дан эканини ҳисобга олиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(4)
Ҳосил қилинган (4) формула Эйлер усулининг асосий ишчи формуласи бўлиб, унинг ёрдамида тугун нуқталарга мос бўлган дифференциал тенгламанинг хусусий ечимларини топиш мумкин. Юқоридаги формуладан кўриниб турибдики, ечимни топиш учун ечимнигина билиш кифоя. Демак, Эйлер усули бир қадамли усуллар жумласига киради.
Масалан: қуйидаги дифференциал тенглама

бошланғич шарт

асосида Эйлер усулида оралиқдаги сонли ечимини топамиз.

Бунинг учун қуйидаги кетма – кетликни бажарамиз.

1. оралиқни 10 та бўлакка бўламиз:

2. Қуйидаги формула ёрдамида функциянинг қийматларини топамиз.



3.Берилган диффетенциал тенгламанинг ечими: