Общие сведения предварительные замечания

Характер решений на границах областей неустойчивости. Для канонической системы [116] все мультипликаторы в области устойчивости находятся на единичной окружности. При переходе в область неустойчивости, соответствующую простому резонансу, мультипликаторы становятся кратными, принимая значения либо либо (рис. 2, а и б). В первом случае одно из решений на границе будет периодическим, во втором оно будет -периодическим. При комбинационных резонансах мультипликаторы покидают единичную окружность через точки, отличные от (рис. 2, в). Этим значениям мультипликаторов отвечает почти периодическое решение уравнения (1). Такой же характер поведения будет в системах более общего типа, мультипликаторы которых удовлетворяют соотношению (12).
Для систем, где условие (12) не выполняется (например, для систем с диссипацией), типичны случаи, показанные на рис. 2, г—е: в области устойчивости все мультипликаторы лежат внутри единичного круга, а на границе области один или пара комплексно-сопряженных мультипликаторов попадает на единичную окружность. Уравнение (1) имеет при этом соответственно хогя бы одно периодическое или почти периодическое решение.
3. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
ОБЛАСТИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ — ХИЛЛА
Уравнение Матье — Хилла. Уравнение колебаний диссипативной системы с одной степенью свободы приводится к виду

где использованы обозначения, приведенные в гл. III. Кроме того, введены обозначения для
периодической функции возбуждения и коэффициента возбуждения .
При из уравнения (20) получаем уравнение Матье — Хилла

Если то уравнение (20) приводится к виду (21) подстановкой

Функция удовлетворяет уравнению

Области неустойчивости уравнения Матье — Хилла на плоскости примыкают к частотным соотношениям

Гармоническое параметрическое возбуждение. Области неустойчивости уравнения
Матье. При гармоническом возбуждении уравнение (21) называют уравнением Матье. Запишем его в виде

или в другой употребительной форме

Переход or одной записи к другой осуществляется при помощи формул

Распределение областей неустойчивости на плоскости , а показано на рис. 3. На

границе областей уравнение (26) имеет периодические решения, обозначаемые
(Функции Матье целого порядка). Диаграмму, приведенную на рис. 3, называют диаграммой Айнса — Стретта.
На рис. 4 изображены первые три области неустойчивости на плоскости Клинья областей примыкают к частотам (24). Относительная ширина области главного параметрического резонанса имеет порядок

При достаточно малых границы этой области могут быть рассчитаны по формуле

Относительная ширина второго, третьего и т. д. побочных резонансов имеет порядок
Формулы для расчета границ первых пяти областей неустойчивости даны в табл. 1.