Обратная матрица

Запишем матрицу в виде:

Главный определитель
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆_1,1 = 8∙((-4)∙(-6) - (-1)∙(-3)) - 2∙(0∙(-6) - (-1)∙(-4)) + 8∙(0∙(-3) - (-4)∙(-4)) = 48
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆_2,1 = 2∙((-4)∙(-6) - (-1)∙(-3)) - 2∙((-1)∙(-6) - (-1)∙(-2)) + 8∙((-1)∙(-3) - (-4)∙(-2)) = -6
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆_3,1 = 2∙(0∙(-6) - (-1)∙(-4)) - 8∙((-1)∙(-6) - (-1)∙(-2)) + 8∙((-1)∙(-4) - 0∙(-2)) = -8
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
∆_4,1 = 2∙(0∙(-3) - (-4)∙(-4)) - 8∙((-1)∙(-3) - (-4)∙(-2)) + 2∙((-1)∙(-4) - 0∙(-2)) = 16
∆=1∙48-3∙(-6)+2∙(-8)-3∙16=2
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A^-1.
Обратная матрица будет иметь следующий вид:

где A_ij - алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица.

Найдем алгебраические дополнения матрицы A^T.

∆_1,1 = 8∙((-4)∙(-6) - (-3)∙(-1)) - 0∙(2∙(-6) - (-3)∙8) + -4∙(2∙(-1) - (-4)∙8) = 48

∆_1,2 = -2∙((-4)∙(-6) - (-3)∙(-1)) - (-1)∙(2∙(-6) - (-3)∙8) + -2∙(2∙(-1) - (-4)∙8) = 6

∆_1,3 = 2∙(0∙(-6) - (-4)∙(-1)) - (-1)∙(8∙(-6) - (-4)∙8) + -2∙(8∙(-1) - 0∙8) = -8

∆_1,4 = -2∙(0∙(-3) - (-4)∙(-4)) - (-1)∙(8∙(-3) - (-4)∙2) + -2∙(8∙(-4) - 0∙2) = -16

∆_2,1 = -3∙((-4)∙(-6) - (-3)∙(-1)) - 0∙(2∙(-6) - (-3)∙3) + -4∙(2∙(-1) - (-4)∙3) = -23

∆_2,2 = 1∙((-4)∙(-6) - (-3)∙(-1)) - (-1)∙(2∙(-6) - (-3)∙3) + -2∙(2∙(-1) - (-4)∙3) = -2

∆_2,3 = -1∙(0∙(-6) - (-4)∙(-1)) - (-1)∙(3∙(-6) - (-4)∙3) + -2∙(3∙(-1) - 0∙3) = 4

∆_2,4 = 1∙(0∙(-3) - (-4)∙(-4)) - (-1)∙(3∙(-3) - (-4)∙2) + -2∙(3∙(-4) - 0∙2) = 7

∆_3,1 = 3∙(2∙(-6) - (-3)∙8) - 8∙(2∙(-6) - (-3)∙3) + -4∙(2∙8 - 2∙3) = 20

∆_3,2 = -1∙(2∙(-6) - (-3)∙8) - 2∙(2∙(-6) - (-3)∙3) + -2∙(2∙8 - 2∙3) = 2

∆_3,3 = 1∙(8∙(-6) - (-4)∙8) - 2∙(3∙(-6) - (-4)∙3) + -2∙(3∙8 - 8∙3) = -4

∆_3,4 = -1∙(8∙(-3) - (-4)∙2) - 2∙(3∙(-3) - (-4)∙2) + -2∙(3∙2 - 8∙2) = -6

∆_4,1 = -3∙(2∙(-1) - (-4)∙8) - 8∙(2∙(-1) - (-4)∙3) + 0∙(2∙8 - 2∙3) = -10

∆_4,2 = 1∙(2∙(-1) - (-4)∙8) - 2∙(2∙(-1) - (-4)∙3) + -1∙(2∙8 - 2∙3) = 0

∆_4,3 = -1∙(8∙(-1) - 0∙8) - 2∙(3∙(-1) - 0∙3) + -1∙(3∙8 - 8∙3) = 2

∆_4,4 = 1∙(8∙(-4) - 0∙2) - 2∙(3∙(-4) - 0∙2) + -1∙(3∙2 - 8∙2) = 2
Обратная матрица.


Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

E=A∙A^-1=

1∙48+2∙(-23)+(-1)∙20+(-2)∙(-10)	1∙6+2∙(-2)+(-1)∙2+(-2)∙0	1∙(-8)+2∙4+(-1)∙(-4)+(-2)∙2	1∙(-16)+2∙7+(-1)∙(-6)+(-2)∙2
3∙48+8∙(-23)+0∙20+(-4)∙(-10)	3∙6+8∙(-2)+0∙2+(-4)∙0	3∙(-8)+8∙4+0∙(-4)+(-4)∙2	3∙(-16)+8∙7+0∙(-6)+(-4)∙2
2∙48+2∙(-23)+(-4)∙20+(-3)∙(-10)	2∙6+2∙(-2)+(-4)∙2+(-3)∙0	2∙(-8)+2∙4+(-4)∙(-4)+(-3)∙2	2∙(-16)+2∙7+(-4)∙(-6)+(-3)∙2
3∙48+8∙(-23)+(-1)∙20+(-6)∙(-10)	3∙6+8∙(-2)+(-1)∙2+(-6)∙0	3∙(-8)+8∙4+(-1)∙(-4)+(-6)∙2	3∙(-16)+8∙7+(-1)∙(-6)+(-6)∙2

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Обратная матрица онлайн
Вместе с этой задачей решают также:
Умножение матриц онлайн
Матричный калькулятор
Аналитическая геометрия и векторная алгебра
Определитель матрицы
Координаты вектора в новом базисе