О природе минералов 1 Введение

 чем больше
число, тем меньше отрезок.
3. Система обозначений. Символ 110 обознача-
ет ряд плоскостей данного наклона (и простран-
ственного расположения). Символ (110) строго со-
ответствует обозначению единичной грани, прав-
да скобки часто опускают. Символом {110} обо-
значают все грани какой-либо одной формы (разд.
3.6.1).
4. В гексагональной и тригональной сингони-
ях имеется четыре (а не три) кристаллографиче-
ские оси, а потому миллеровский индекс в этих
системах состоит не из трех, а из четырех цифр.
Добавочные индексы обозначают символом г (в
целом
 hkil).
Однако из-за особенностей взаимоот-
ношений между осями ж,
 у
и
 и
в плоскости, пер-
пендикулярной тройной или шестерной оси, ин-
дексы
 hki
всегда подчиняются уравнению
 h + k =
-i.
Поэтому индекс г часто опускают и заменяют
точкой
 (hk.l).
3.5.3 Символ зоны
Определенные соотношения существуют между
миллеровскими символами граней и символами
для
 осей зоны. Зоной
называется совокупность
граней с параллельными ребрами, а общее направ-
ление ребер именуют
 осью зоны
(рис. 3.28). Ось
зоны можно обозначить координатами
 U, V, W,
которые представляют собой множители при от-
резках ячейки, отсекаемых на кристаллографиче-
ских осях координат. На рис. 3.28 жирной линией
показана ось зоны, параллельная направлению ре-
бра
 qr
, по которому пересекаются грани
 pqr
и
 qrs.
Символ зоны [
UVW
] заключен в квадратные скоб-
ки, чтобы показать, что он относится к линии, а
не к плоскости. Рассмотрение подобных взаимоот-
ношений не входит в задачи данной книги, но их
описание можно найти в работах по кристаллогра-
фии (см. рекомендации для дальнейшего чтения
в конце главы). Здесь же мы удовлетворимся упо-
минанием только двух из них.
1. Правило сложения (частный случай закона
зоны Вейса) утверждает, что если сложить индек-
сы двух граней одной зоны, то они всегда сведутся
к индексам грани, лежащей между ними и являю-
щейся наклонной к находящемуся между ними ре-
бру. Данное правило зачастую позволяет при вни-
мательном просмотре индексировать грани на сте-
реограмме, когда основным граням индексы уже
присвоены. Это оказывается особенно полезным,
если грань, которую нужно индексировать, лежит
на пересечении
 двух
зон. Подобные примеры мож-
но видеть на рис. 3.29.
Рис. 3.28 Символ зоны.

---

Рис. 3.29 Стереограмма, иллюстрирующая правило сложения для индексов одной и той же
зоны.
2. Чтобы проверить, лежит ли третья грань в
одной зоне с двумя другими, мы находим символ
зоны двух граней, определяя зону таким способом:
пишем индексы каждой грани два раза, распола-
гая индексы второй грани под индексами первой;
затем отсекаем конечные члены каждого ряда сле-
дующим образом:
В каждой группе, связанной крестом, перем-
ножаем числа, соединенные жирной линией, и вы-
читаем из полученного результата произведения
пар, соединенных тонкими линиями, производя
эту операцию слева направо. В итоге получаем
символ зоны
Сделайте то же самое с индексами одной из
этих двух граней и индексами третьей грани. Если
третья грань находится в одной зоне с этими дву-
мя, то символ зоны должен быть тем же, что пре-
жде.
Например, из рис. 3.46 следует, что грань 5161
находится в одной зоне с 0111 и 1121. При этом в

---

гексагональной и тригональной системах мы опус-
каем третью цифру в описании индекса, так как
она не нужна для описания плоскостей. Тогда име-
ем
В каждом случае символ зоны одинаков, и, сле-
довательно, эти три грани лежат в одной зоне.
3.5.4 Расчет осевых отношений
Обратимся к рис. 3.15, на котором в демонстраци-
онных целях была приведена кристаллическая ре-
шетка с заданными нами размерами ячейки, и на-
несем полюса ее основных граней на стереограмму
для установления симметрии решетки. Результат
такой операции показан на рис. 3.29.
В ромбической системе в качестве кристал-
лографических осей берутся двойные оси симме-
трии. Они определяют только одну плоскость, ко-
торая пересекает оси
 x, у и z
и поэтому прини-
мается за единичную грань
1
с обозначением 111.
Грани, перпендикулярные к трем двойным осям,
получают обозначения 100, 010 и 001.
Все грани в зоне между 001 и 100 будут пер-
пендикулярны к плоскости
 xz
и параллельны
 у
,
поэтому их второй индекс 0. Аналогичным обра-
зом все полюса на плоскости
 уz
имеют в индексе
О на первом месте, тогда как грани основного кру-
га, будучи параллельны
 z
, содержат 0 на послед-
нем месте. Плоскости, представленные полюсами,
расположенными в зоне 001-111, будут иметь та-
кие же отношения отрезков, отсекаемых на осях
x
и
 у
, как и единичная грань, и, следовательно,
обладать индексами, у которых первые два числа
одинаковы, например 110, 221 и т.д.
В зоне 100, 111, 111, 100 грань, пересекающая
ребро между 111 и 111, будет иметь индексы, ко-
торые представляют собой сумму индексов этих
двух граней, т.е. 022 = 011.
Когда индексирование достигло этой стадии,
мы можем рассчитать отношения осей кристал-
ла с помощью методов прямолинейной тригономе-
трии, используя углы между плоскостями, перпен-
дикулярными кристаллографическим осям (плос-
кости с индексами 100, 010 или 001), и между те-
ми плоскостями, которые пересекают две оси и па-
раллельны третьей (101, 011, 110). Если искомая
плоскость не выражена гранью кристалла, то ее
положение может быть определено по стереограм-
ме путем построения больших кругов, отобража-
ющих две зоны, в которых она может находить-
ся. Точка пересечения этих кругов устанавлива-
ет место нахождения искомого полюса. Теперь по
стереограмме можно измерить (приблизительно)
угол между плоскостями.
На рис. 3.30 показаны тригонометрические со-
отношения, использованные при расчете осевых
отношений для нескольких кристаллографиче-
ских систем (исключая триклинную). Осевые от-
ношения в триклинной системе лучше всего рас-
считывать векторными методами, так как исполь-
зование тригонометрического подхода для нее
оказывается сложным. Подобные расчеты на сте-
реограмме рис. 3.29 для кристаллов ромбической
симметрии приведут нас снова к осевому отноше-
нию
a: b: c
= 0,75: 1 : 1,5,
исходя из которого были первоначально получены
углы между гранями на рис. 3.15 и в сопровожда-
ющей его табл. 3.2.
Осевые отношения можно также вычислить
путем решения сферических треугольников в сте-
реографической проекции. Мы не будем здесь ка-
саться этого метода, так как с помощью современ-
ных компьютеров такие расчеты легче выполня-
ются векторными методами. Для освоения сфе-
рической тригонометрии мы отошлем читателя к
старым кристаллографическим руководствам, на-
пример к книге
 F. С. Phillips,
An introduction to
crystallography, 4th ed., London, Longman, 1977.
или

---