Nyuton Binomi Contributors to Wikimedia projects

Nyuton dürbünlerinin koeffitsientlari, binom koeffitsientlarining xususiyatlari, Paskal uchburchagi

Turli n uchun binomial koeffitsientlarni taqdim etish Paskalning arifmetik uchburchagi deb ataladigan jadval yordamida amalga oshiriladi. Jadvalning umumiy ko'rinishi:

Darajasi ko'rsatkichi	Binominal koeffitsientlar
0						C00
1					C10		C11
2				C20		C21		C22
3			C30		C31		C32		C33
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

Tabiiy holdan, Paskalning bunday uchburchagi dürbün koeffitsientlari qiymatlaridan iborat:

Darajasi ko'rsatkichi	Binominal koeffitsientlar
0								1
1							1		1
2						1		2		1
3					1		3		3		1
4				1		4		6		4		1
5			1		5		10		10		5		1
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

Uchburchakning tomonlari birliklarning qiymatiga ega. Ichkarida qo'shni tomonlarning ikki raqamini qo'shganda olingan raqamlar mavjud. Qizil rangda ta'kidlangan qiymatlar to'rtta va ko'k oltitasi sifatida olinadi. Qoida uchburchakning bir qismi bo'lgan barcha ichki sonlar uchun amal qiladi. Koeffitsientlarning xususiyatlari Nyuton dürbünü yordamida tushuntiriladi.

Nyuton dürbününün formulasini isbotlash

Nyuton dürbün stavkalari uchun adolatli bo'lgan tenglik mavjud:

• 
  koeffitsient boshidan va oxiridan teng ravishda ajratiladi va quyidagi formuladan ko'rinib turganidek tengdirCnp=Cnn-pр=0, 1, 2, …, n;
  
• 
  Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
  
• 
  binom koeffitsientlari 2dürbün darajasi ko'rsatkichi darajasida, ya'niCn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2n;
  
• 
  binominal koeffitsientlarni teng tartibga solishda ularning summasi g'alati joylarda joylashgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
  

Turlarning tengligi a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bnadolatli hisoblanadi. Uning mavjudligini isbotlaymiz.

Buning uchun matematik indüksiyon usulini qo'llash kerak.

Dalil uchun bir nechta fikrlarni bajarish kerak:

1. 
   Qachon degradatsiyasi tenglik tekshirish n=3. Bizda shunday a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3
   
2. 
   Agar tengsizlik to'g'ri bo'lsan-1, unda turning ifodasi a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1
   

bu adolatli hisoblanadi.

3. 
   a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-12-bandga asoslangan tenglik isboti.
   

Ishonchli 1

Ifoda

a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+...+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

Qavslarni ochish kerak, keyin biz olamiza+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Mahsulotlar va etkazib beruvchilarning lentasini yanada aniqroq qurish uchun

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Bizda shunday Cn-10=1va Cn0=1keyin Cn-10=Cn0. Agar Cn-1n-1=1va Cnn=1keyin Cn-1n-1=Cnn. Kombinatsiyalarning xususiyatlarini qo'llashda Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1biz turlarning ifodasini olamiz

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2⋮Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Olingan tenglik bilan almashtiramiz. Buni olamiz

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

Keyin Nyutonning bioniga o'tishingiz mumkin a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

Dürbün formulasi isbotlangan.

Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish

Formuladan foydalanishning to'liq tushunchasi uchun misollarni ko'rib chiqing.

Misol 1

(a+b)5Nyuton dürbünün formulasidan foydalanib , ifodani kengaytirish.

Qaror

Paskal uchburchagida beshinchi daraja bilan binominal koeffitsientlar aniq 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ya'ni, a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5biz kerakli ajralish nima ekanligini bilib olamiz.

Javob: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Misol 2

Nyuton dürbünlerinin koeffitsientlarini turning ayrışmasının oltinchi a'zosi uchun toping a+b10.

Qaror

Vaziyatga ko'ra, bu bor n=10, k=6-1=5. Keyin bionomik koeffitsientni hisoblashga o'tishingiz mumkin:

Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

Javob: Cnk=C105=252

Quyida ko'rsatilgan raqam bilan ifodalashning bo'linishini isbotlash uchun dürbün tomonidan ishlatiladigan bir misol.

Misol 3

5n+28·n-1Tabiiy son bilan ifodalashning ma'nosi n16qoldiqsiz bo'linadi.

Qaror

Nyuton dürbünü shaklida ifoda 5n=4+1nqilish va foydalanish kerak. Keyin buni olamiz

5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+...+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+...+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+...+Cnn-2+2·n)

Nyuton Binomi-formula, dalil va misollar

Maqola muallifi Anastasiya Irlyk

Qadimgi bilim

Dinlar haqidagi iddaolarning maxsus holatlari miloddan avvalgi IV asrdan ma'lum bo'lgan, mashhur yunon matematikasi Euclid 2 ko'rsatkichi uchun bunday teoremaning alohida ishini eslatib o'tgan. Hindistonda VI asrda kublar uchun dinlar haqidagi teoremaning o'xshashligi allaqachon ma'lum bo'lgan. Bionomik koeffitsientlar, kombinatoriya qiymatlari sifatida, n-dan ob'ektlarni k-ni almashtirmasdan tanlash usullarini ifodalovchi, qadimgi hind matematiklari uchun qiziqish uyg'otdi.

Ushbu kombinatoriya muammosining eng qadimgi eslatmasi hind matematikasi Pingalda (miloddan avvalgi 200 atrofida)topilgan . Aytgancha, uni hal qilish usuli ham mavjud. X asrda bu nazariya Halayudhga Paskal uchburchagi sifatida ma'lum bo'lgan usuldan foydalanib izoh berdi va kengaytirdi.

Miloddan avvalgi VI asrga kelib. e. hind matematiklari, ehtimol, umumiy qoidani xususiy sifatida ifoda etish yo'lini bilishgan va bu shaklda shunday deb aytganlar: n! / (n - k)!k!. Uning aniq bayonotini XII asr matnida topish mumkin, uning muallifi Bhaskar. Ma'lumki, binominal teoremaning birinchi formulasi va al-Samaval tomonidan uning asarlarida keltirilgan Al-Karaji ishida mos keladigan koeffitsientlar jadvali mavjud.

Al-Karaji bionomik koeffitsientlarning uchburchak tuzilishini tasvirlab, matematik induksiyaning dastlabki shakli yordamida dürbün teoremasini va Paskal uchburchagi qoidalarini ham taqdim etdi. Fors shoiri va matematik Omar Xayyom, ehtimol, yuqori darajadagi formula bilan tanish bo'lgan bo'lsa-da, uning matematik asarlarining aksariyati zamonaviy olimlarga etib bormagan.

Kichik darajadagi binominal dekompozitsiyalar XIII asrning Jan Xuey va Chu Shi-Je matematik asarlarida ma'lum bo'lgan. Jan Hui XI asrda yozilgan Jia Xi ning oldingi matniga ishora qiladi.

1544da Maykl Stifel "binomial koeffitsient" atamasini kiritdi va uni "Paskal uchburchagi"orqali (1 + a)^{N - 1} nuqtai nazaridan (1 + a)^{n-1 ifodalash uchun qanday ishlatilishini ko'rsatdi}. Blez Paskal "Traité du triangle arithmétique" (1653) risolasida uchburchakni har tomonlama o'rganib chiqdi.

Shuni aytish kerakki, raqamlarning tuzilishi kech uyg'onish davrining evropalik matematiklari tomonidan allaqachon ma'lum bo'lgan:

• 
  Stifel.
  
• 
  Niccolo Tartaglia Favvorasi.
  
• 
  Simon Stevina.
  

Aytgancha, Isaak Nyuton odatda har qanday oqilona ko'rsatkich uchun adolatli bo'lgan binomlarning umumiy teoremasiga taalluqlidir.

Teoremani tasdiqlash

Ko'ra theorem, u iloji kengaytirish har qanday kuch x + y ichiga yig'indisi shaklida (x + y)ⁿ = (ⁿₒ) x ⁿ y ⁰ + (ⁿ1) x ^{n - 1} y ¹ + (ⁿ2) x ^{n - 2} y ² + ··· + (ⁿ n - 1) x¹, y ^{n - 1} + (ⁿ n) x¹, y ^{n - 1}+ (ⁿ n) x⁰ y ⁿ , qaerda har bir (ⁿ, k) bir ijobiy integer sifatida tanilgan binomial koeffitsienti.

Daraja ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, tegishli daraja ifodasi 1ga teng bo'ladi va bu multiplikativ omil ko'pincha formuladan chiqariladi. Ko'pincha (ⁿ)) x ^{n + * * shaklida yozilgan tenglamaning o'ng tomonini ko'rishingiz mumkin}. Ushbu formulaga binominal identifikator ham deyiladi.

Nyuton dürbününün formulasının eng oddiy misoli, masalan, x + y kvadrat uchun (x + y)² = x² + 2xy + y². Ushbu kengayishda paydo bo'lgan 1, 2, 1 bionomik koeffitsientlar Paskal uchburchagi ikkinchi qatoriga mos keladi. Uchburchakning yuqori "1" liniyasi 0 deb hisoblangan umumiy qabul qilingan me'yorlarga e'tibor berish kerak.

Yuqori darajadagi x + y koeffitsientlari Paskal uchburchagi pastki qatorlariga mos keladi. Hisob - kitoblardan bir nechta naqshlarni ko'rishingiz mumkin. Umumiy holda, parchalanish uchun (x + y) ⁿ:

• 
  1 (0 teng x 0 da) erishish uchun n boshlab, har bir a'zosi 1 tomonidan x darajalari kamayadi);
  
• 
  y 0 da boshlanadi va 1 tomonidan oshiriladi (n darajasiga etgunga qadar);
  
• 
  bir xil atamalarni birlashtirishdan oldin parchalanishdagi atamalar soni koeffitsientlar yig'indisi hisoblanadi va 2^{n ga teng};
  
• 
  bir xil atamalarni birlashtirgandan so'ng, parchalanish n + 1 bo'ladi.
  

Teorema har qanday dürbün darajasiga qo'llanilishi mumkin.

Geometriya nuqtai nazaridan

N = 2 bilan ijobiy a va b teorem qiymatlari uchun geometrik aniq haqiqatdir. N = 3 teoremasida a + b tomoni bo'lgan kubdan a + b tomoni bilan olinishi mumkin: a va b tomonlari bo'lgan ikki kub, navbati bilan, uchta to'rtburchak a × a × a × b va bir xil a × b × b.

Hisoblashda Nyuton dürbününün geometrik isboti quyidagicha: (x ⁿ) ' = nx ^{n - 1}. Agar siz to'plami a = x, b = ∆x, interpreting b kabi bir juda kichik o'zgarishi bir, keyin quyidagi rasm paydo: bir juda kichik o'zgarish hajmi bir n o'lchovli hypercube (x + ∆x) ⁿ, qaerda koeffitsienti hamda chiziqli muddatli (ichida ∆x ) bo'ladi nx ^n-1, mayBinomi n yuzlari, har bir hajm (n - 1), (x + ∆x) ⁿ = x ⁿ + nx ^n-1 ∆x + (ⁿ2)x ^n-2 (∆x) ² + ··· .

Ushbu tenglamani differentsiatsiya va chegaralarni qabul qilish orqali lotin ta'rifiga almashtirish yuqori darajadagi a'zolar (∆x) ² va undan yuqori bo'lganlar ahamiyatsiz bo'ladi va formulani (x ⁿ)' = nx ^n-1beradi . Bularning barchasi "n-Cube hajmining o'zgarishining cheksiz kichik tezligi, uning uzunligi o'zgarganda n (n - 1) mayBinomiga teng"deb talqin etiladi.

Bionomik koeffitsientlar Nyuton dürbününün ayrışmasında paydo bo'ladi. Odatda ular (ⁿ k) deb yoziladi va Paskal uchburchagi n satridan k elementlarini tanlash usullari soni sifatida talqin etiladi. Koeffitsient x ^n-k y ^k quyidagi formula bilan topiladi: (ⁿ k) = n! / k! (n-k)!, n faktorial funktsiyasi bo'yicha aniqlanadi!.

Teoremaning bir nechta dalillari mavjud. Misol uchun, kombinatoriyani ko'rib chiqing. Uning algoritmi eng oddiylardan biridir. Xy ^{2 b koeffitsienti} (x + y) ³ teng:

• 
  (x + y) (x + y) (x + y);
  
• 
  xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy;
  
• 
  x² + 3x² y + 3xy² + y³ teng (³ 2) = 3.
  

Hisob-kitoblar shunga o'xshash, chunki uchta x va y satrlari mavjud: xyy, yxy, yyx. Ular uchta ikki elementli kichik guruhga (1, 2, 3) va ayniqsa: {2,3}, {1,3}, {1,2}, har bir kichik guruh uchburchakning tegishli satrida y pozitsiyalarini belgilaydi.

Yoki, masalan, umumiy holat. Kengaytma (x + y) ⁿ E2 E1 turidagi 2 n mahsuloti miqdorini beradi ... permütasyon stavkalari, har bir mahsulot 0 ^{va n orasida bir necha k uchun x n - k y} k ekanligini ko'rsatadi.:

• 
  kengaytmada x ^{n - k} y ^{k nusxalari soni};
  
• 
  k pozitsiyalarida y ga ega bo'lgan n-belgilar x, y satrlari soni;
  
• 
  k-Elemental kichik guruhlar soni {1, 2, ..., n}.
  

Agar (ⁿ k) n sifatida taqdim etilsa, bionomik teoremani ta'riflash yoki qisqa kombinatoriya argumentiga ko'ra isbotlang! / k! (n-k)!.

Binom umumlashmalari

1665 haqida Isaak Nyuton dürbünle bilan bog'liq teoremasini umumlashtirdi. U salbiy bo'lmagan tamsayılardan boshqa moddiy ko'rsatkichlarni hal qilish uchun buni qildi. Ushbu umumlashmada yakuniy miqdor cheksiz qator bilan almashtiriladi. Buni amalga oshirish uchun, dürbün koeffitsientlerine tasodifiy yuqori indeks bilan ma'no berish kerak, bu faktoriallar bilan oddiy bir formula bilan amalga oshirilishi mumkin emas.

Biroq, tasodifiy son uchun r hisoblash mumkin (^r k) = r(r - 1) ··· (r - k + 1) / k! = (r)k / k!, bu erda (·) K bu erda tushgan faktorial degan ma'noni anglatuvchi Pohgamerning ramzidir. Bu odatiy ta'riflarga mos keladi. R - noaniq tamsayı bo'lsa, k > r uchun bionomik koeffitsientlar nolga teng, shuning uchun bu tenglama oddiy bo'lmagan a'zolarning r + 1 dan ortiq bo'lmagan odatdagi bionomik teoremaga tushadi. Boshqa r qiymatlari uchun, odatda, cheksiz ko'p noloyiq a'zolarga ega.

Umumlashmalar x va y kompleks sonlar bo'lgan hollarda qo'llanilishi mumkin. Ushbu versiya uchun x | x | > | y | ni qayta qabul qilishingiz va x + y va x> darajalarini aniqlashingiz kerak. umumiy dürbün teoremasi x va y elementlari uchun x va y Banax algebra , x = uh, x esa qaytariladigan, a | y | x | | / |

Binomial teoremani ikki a'zodan ortiq miqdordagi summalarni o'z ichiga olgan holda umumlashtirilishi mumkin. Ko'p sonli teorema ko'pincha bionomik ifodalarning mahsulotlari bilan ishlash uchun bir necha o'lchovlarda ishlashda foydali bo'ladi.

Amalda tekshirish

O'qituvchi algebra darsida sinfni ko'rsatadigan oddiy muammoni hal qilish bilan yaxshiroq boshlang. Misol uchun, (2x-3) 3ni kengaytirish kerak. Onlayn kalkulyatordan foydalanib, buni qilish juda qiyin bo'lmaydi. Biroq, siz 4, 5, 6, da qurilgan ikki barmoqli kabi katta kengaytmalarga duch kelishingiz kerak ... darajasi.
Birinchidan, dürbünden (formuladan x va y qoidalari) va dürbünü kengaytirish kerak bo'lgan darajada (n harfi) ikki a'zoni aniqlash kerak. Misol uchun, kengaytirish uchun (2x-3) 3, ikkita a'zo 2x va -3 va quvvat qiymati (yoki n) 3. Shuni ta'kidlash kerakki, dürbünde olib tashlash belgisi mavjud bo'lsa, minus faqat salbiy belgilar sifatida birgalikda ishlatilishi kerakligini eslash juda muhimdir.

Dürbün teoremasida ajoyib narsa, bu juda ko'p dürbünleri birga ko'paytirmasdan kengaytirilgan polinom topish imkonini beradi. Juda qiziqarli xususiyat. Ko'rinib turibdiki, kerakli kengaytirilgan polinomdagi atamalar soni har doim kengayadigan kuchdan ko'ra bir birlik uchun katta bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, to'rtta a'zo bilan polinom yaratish kerak, chunki bu misolda kuch 3.

Har bir a'zo (2x) va (-3), shuningdek, n = 3 bo'lgan "n k ni tanlaydi" formulasiga ega bo'ladi. Buni 4 marta, har bir a'zo uchun birma-bir yozib, k qiymatini "n k ni tanlaydi". Hisoblashning ushbu bosqichida daraja qiymatlari to'ldirilmaydi.

Keyin k-qiymatlari va vakolatlarini to'ldirishingiz kerak. Bu erda har bir a'zoning kuchini oshirib, umumlashtiruvchi formulaga amal qilishingiz mumkin. Lekin naqshlarga rioya qilish juda oson. K qiymatlari "n k ni tanlaydi" k = 0 bilan boshlanadi va har bir a'zodan 1ga oshadi. Oxirgi a'zo n = 3 va k = 3 kabi k ga teng bo'lishi kerak. Keyin (2x) va (-3) kuchlarni qo'shishingiz kerak.

Incorporation (2x) n-qiymatdan boshlanadi, bu holda 3 va har bir muddat uchun 1 tomonidan nolga tushgunga qadar kamayadi. Yoqish (-3) noldan boshlanadi va har safar bu vazifada n yoki 3ga yetguncha birlik boshiga ko'payadi. Shunday qilib, yarim ishlar amalga oshiriladi: (3ₒ)(2x)3‾⁰3 (-3)° + (31)(2x) ^3-1=2 (-3)¹ + (32)(2x) ^3-2=1 (-3)² + (33)(2x) ^3-3=0 (-3)³.

Nolga o'rnatilgan har qanday qiymat 1ga teng bo'lgani uchun, siz nol daraja bilan summalarni soddalashtirishingiz mumkin. Bundan tashqari, oldinga siljish va kuch ishlatish, barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni soddalashtirish tavsiya etiladi.

Qisqa yo'l

Oxirgi qism kombinatsiya formulasini hal qilishi kerak. Buning aniq usuli har bir vazifa uchun kombinatsiya formulasini qo'llashdir. Biroq, uchta boshlang'ich birlik bilan uchburchak yaratish orqali hosil bo'lgan Paskal uchburchagi yordamida hiyla-nayrangga o'tish va hisob-kitoblarni tezlashtirish kerak. Shundan so'ng, har bir satr uchun faqat har ikki uchida 1 yozing va o'rtacha sonlarni toping, to'g'ridan-to'g'ri yuqorida ikkita qiymat qo'shing.

Endi yaxshi qism. Paskal uchburchagida barcha javoblar yashiringan-bu haqiqiy Cheat varaq. Quyidagi grafik yashirin "n k ni tanlaydi"qaerda ekanligini ko'rsatadi.
Ushbu muammoni hal qilish uchun: 3 0 ni tanlaydi, 3 1 ni tanlaydi, 3 2 ni tanlaydi va 3 3 ni tanlaydi. Bu barcha qiymatlar to'rtinchi qatorda mavjud. Shunday qilib, uchburchakning to'rtinchi qatoriga qarash va javoblarni taqqoslash yo'li bilan xulosalar chiqarish kerak. To'rtinchi qator qiymatiga ega: 1, 3, 3, 1. Shunday qilib, n ni k ni tanlash bilan almashtirishingiz kerak: (1)8x³ + (3)4x²(-3) + (3) (2x)(9) + (1)(-27).

Va nihoyat, har bir narsani eng oddiy shaklga qadar har bir atamani ko'paytirish va soddalashtirishdir. Har bir muddatning vakolatlari hali ham asl dürbün darajasini oshirish uchun yakuniy javobni tekshirishga arziydi.

Matematika maktabida Nyuton Binomi

PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Chow "Sankt-Peterburg maktabi" tet-A-tet»

Xizmat Ko'rsatgan Matematika O'qituvchisi

"Nyuton Binomi. Binominal koeffitsientlarning xususiyatlari»

Maqsadlar:

- o'qituvchilar: Nyuton dürbünlerinin formulasini tanishtirish, Nyuton dürbününün formulasini ikki tomonlama darajada qurish uchun qanday foydalanishni o'rgatish; - rivojlanish: xotira, algoritmik va mantiqiy fikrlash, e'tiborni rivojlantirishga yordam berish; - ta'lim: mas'uliyat, mustaqillik, vijdon tuyg'usini tarbiyalashni davom ettirish.)

Uskunalar: kompyuter, multimedia projektori, ekran, taqdimot, nazariy materialli kartalar.

Dars turi-birlashtirilgan;

Talabalarning ishlash shakllari old, individual.

Dars kursi:

1. Tashkiliy moment:

Mavzu, dars maqsadlari, ko'rib chiqilayotgan mavzuning amaliy ahamiyati.

2. Bilimlarni yangilash

I. oldingi tadqiqot:

1) kombinatorika qanday ishlaydi?

2) qaysi turdagi ulanishlar yoki namunalar sizga ma'lum?

3) "kombinatorika" krossvordini toping»

II. Oral hisob:

5!=….(120) va52 =...(20). O'tish: saytda harakatlanish,qidiruv(8)

5 kishini skameykaga qanday qilib qo'yish mumkin?

3. Yangi materialning taqdimoti: nazariy materiallar kartalari bilan ishlash. Talabalarning xabarlarini tinglash va tahlil qilish. Xulosa yozish.

I) kombinatorikaning tarixi

O'tgan darsda kombinatorika asoslari bilan tanishdik. Birinchi ijodiy guruh uchun uy vazifasi kombinatorikaning ilm-fan sifatida paydo bo'lishi tarixi haqida xabar tayyorlash edi.

Qanday olimlar kombinatorikani ilm-fan sifatida rivojlantirishga hissa qo'shdilar?

O'sha davrning eng buyuk aqllaridan biri ingliz olimi Isaak Nyuton edi. Sizning uy vazifangiz bu buyuk daho haqida xabar tayyorlash edi.

II) Ishoq Nyuton-buyuk matematik

Siz buyuk matematik Isaak Nyutonga qanchalik ajoyib g'oyalar va kashfiyotlar haqida hisobotdan eshitgansiz. Uning kashfiyotlaridan biri Nyuton Binomi uchun formuladir.

III) Nyuton Binomi.

Bugungi darsimizni shu kashfiyotga bag'ishlaymiz. Dars mavzusini yozamiz. Bizning darsimizning maqsadlari: Nyuton dürbüninin formulasi bilan tanishish, Nyuton dürbününün formulasini ikki tomonlama darajada qurish uchun qanday foydalanishni o'rganish.

Binom so'zi matematikada" ikki raqam "degan ma'noni anglatadi, dürbün"ikki o'zgaruvchining yig'indisi butunlay salbiy bo'lmagan darajada alohida qismlarga ajratish uchun formula" deb ataladi. Keling, Nyutondan keyin uni qo'llashga harakat qilaylik.

Siz, albatta, eslayman (yoki kamida eslash kerak), kvadrat uchun qisqartirilgan ko'paytirishning formulalari va ikki summaning summasi (bu miqdor "bin" deb ataladi, rus tilida- ikki barobar.

Agar siz ushbu formulalarni unutgan bo'lsangiz, ularni to'g'ridan-to'g'ri olishingiz mumkin

Ehtimol, siz savol bergan edingiz: to'rtinchi darajali dürbünler, beshinchi, o'ninchi-har qanday turdagi formulalarni (kompyutersiz) olish mumkinmi?

Keling, to'g'ridan-to'g'ri kamida beshinchi darajaga erishishga harakat qilaylik va u erda "butalardagi pianino" bo'lishi mumkin (buyurtma uchun biz o'ng tarafdagi summalarni a darajasining pasayishi bilanjoylashtiramiz, u maksimal noldan nolga tushadi):

Endi dürbününün ma'lum bir darajada qurilishi paytida formulalarning o'ng qismlarida raqamli koeffitsientlarni alohida-alohida yozamiz:

Ehtimol, siz allaqachon "butalardagi pianino" oldingi sahifadagi Paskal uchburchagi ekanligini taxmin qildingiz. Raqamli koeffitsientlarga berilgan Paskal uchburchagi satrlari uchinchi darajadan boshlanganini tekshirish oson. Dastlabki ikki satrdan mahrum bo'lgan bu "kesilgan uchburchak" to'liq bajarilishi oson ( n=0 va n=1 da qatorlarni olish):
Nihoyat, biz olamiz:
Bu bayonot Paskaldan ancha oldin ma'lum edi - XI-XII asrlarda yashagan.o'rta Osiyo matematikasi va shoir Omar Xayyom (afsuski, bu haqda uning ishi bizga etib bormadi).  Nyuton binom formulasining birinchi ta'rifi 1265da paydo bo'lgan o'rta Osiyo matematikasi at-Tusiy kitobida mavjud bo'lib, unda raqamlar jadvali  (binomial koeffitsientlar)  mavjud.

Evropalik olimlar Sharqiy matematiklar orqali Nyuton dürbünlerinin formulasi bilan tanishdilar. Bionomik koeffitsientlarning xususiyatlarini batafsil o'rganish 1654 da frantsuz matematigi va faylasufi B. Paskal tomonidan o'tkazildi.

IV) Blez Paskal 

Keling, har qanday darajadagi nda dinni qanday qurish mumkinligi aniq. Chap tomonda (a+b)n yoziladi. Va o'ng tomonda biz n + an-1b + ... + bn summasini yozamiz , har bir atamada koeffitsient uchun joy qoldiramiz. Va bu joylar Paskal uchburchagi n –qatoridan raqamlar bilan to'ldiriladi, bu, albatta, oldindan yozilishi kerak.

 N darajadagi ikki tomonlama a + b qurilishi   Nyuton dürbününün parchalanishi deb nomlangan formula bilan amalga oshirilishi mumkin :

(a + b)n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 +...+Ckn an - k bk +... + Cn - 1n abn - 1 + Cnnbn

bu erda Ckn -k elementlaridan hosil bo'lishi mumkin bo'lgan barcha kombinatsiyalar .

Пример: (a + b)5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Shunday qilib, har qanday darajada ikki tomonlama qurish uchun formulani yozishingiz mumkin. Keling, Nyuton Dürbününün formulasiga ko'ra, er-xotin parchalanadigan atamalar ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

V) Nyuton dürbünün xususiyatlari

1ga kiritilgan atamalar soni dürbün darajasidan kattaroqdir.

Koeffitsientlar Paskal uchburchagi yoki C kombinatsiyalarining soniga teng, bu erda n darajasi ikki barobar, m 0 dan ngacha bo'lgan qiymatlarni va ikkinchi ifoda darajasiga mos keladigan o'zgarmaydigan qiymatdir.

Koeffitsientlar nosimmetrik.

Qavslar ichida minus belgisi bo'lsa, belgilar + va-muqobil.

Har bir atamaning darajalari yig'indisi dürbün darajasiga teng.

Parchalanish koeffitsientlari yig'indisi (a + b) n 2 n ni tashkil qiladi .

VI) yangi materialni mustahkamlash.

Siz bilan Nyuton dürbünü foydalanib, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish bilan tanishdik: Nyuton Dürbünü qaerda ishlatiladi?

VII) Nyuton Dürbününün foydalanish.

Xulosa qilib aytganda, Nyuton dürbününün foydalanish, so'zning muayyan songa bo'linishini isbotlashga imkon beruvchi misolni ko'rib chiqing.

Misol.

 N – tabiiy raqam bo'lgan ifoda qiymati 16 tomonidan qoldiqsiz bo'linishini isbotlang.

Qaror.

Keling, Nyuton dürbününün formulasini qanday qilib ishlatishimiz haqida birinchi atamani tasavvur qilaylik : 

Olingan mahsulot asl ifodani 16-ga ajratishni tasdiqlaydi. Nyuton Binomi fermaning teoremasini, cheksiz qatorlar nazariyasini va Nyuton-Leibniz formulasini topishda ishlatiladi

VIII) "Nyuton Binomi"iborasi nimani anglatadi?

Joker ibora, tupurish ishiga nisbatan qo'llaniladi, oddiy vazifa, ba'zilari noto'g'ri tarzda bajarish uchun ortiqcha yoki murakkab deb hisoblaydi.  Bu iboraning paydobo'lishi: Mixail Bulgakovning (1891 - 1940) "magistr va Margarita" (1940) romanidan.  Volandning bufetchi sharbat bilan suhbatiga izoh berishga qaror qilgan Korovyevning so'zlari. Bufetchi unga soxta pul bilan to'laydigan tomoshabinlarga shikoyat qiladi, "bir yuz to'qqiz rubl uchun bufet jazolandi". "- Xo'sh, albatta, bu miqdor emas - biroq, u, aslida, siz kerak emas-da, - xushmuomalalik Voland uning mehmon aytdi. Qachon o'lasiz? Keyin bufetchi g'azablandi. - Bu hech kimga ma'lum emas va hech kimga taalluqli emas", dedi u. - Ha, ha, bu ma'lum emas, - kabinetdan bir xil yoqimsiz ovoz (Korovyov) eshitildi, - deb o'ylaysiz, Nyutonning bimi! U to'qqiz oy ichida, kelgusi yilning fevral oyida, birinchi Moskva davlat universitetining klinikasida, to'rtinchi xonada jigar saratoni bilan vafot etadi.

IX) dars natijalari. Aks ettirish

Nyutonning Dini Haqida O'ylaysiz

Oskar Xutoryanskiy

"Siz Nyutonning dini deb o'ylaysiz" mushuk Behemotni (u Volandning itoatkor xizmatkori) o'tkazib, hayotni bashorat qilmoqda.   Bularning barchasi faqat Nyuton dahosi tomonidan tasdiqlangan, ammo uzoq vaqt davomida dinlar Xitoyda tanilgan, arablar bu haqda bilishgan.  Lekin Nyuton qarorini umumlashtirdi, u polinom darajasiga ko'tarildi... Bizni boshqalarning shubhalaridan qutqardik, bizda hech qanday muammo yo'q.   Bizga hech qanday bahs-munozaralarsiz ayting-chi, nima uchun bu dinga muhtojmiz? Biz dürbünsiz hodisalarni kombinatorik topa olmaymiz.  Nov. 7, 2015

- Darsda nimani o'rgandingiz? Ushbu formula matematika uchun muhimmi? Yangi narsalarni o'rganish qiyinmi?

Nyuton binom - talabalar ilmiy forumi

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtiriladi. Ishning to'liq versiyasi PDF formatida "ish fayllari" ko'rinishida mavjud

Nyuton dürbünlerinin barcha ijobiy ko'rsatkichlar uchun formulasi Isaak Nyutondan ancha oldin ma'lum bo'lgan, ammo 1676da bu dekompozitsiyani qisman yoki salbiy ko'rsatkich bilan tarqatish imkoniyatini ko'rsatdi. Nyuton tomonidan ko'rsatilgan imkoniyatlar uchun qat'iy asos 1826 yilda N. Abel tomonidan berilgan. Kesirli yoki salbiy n holatlarida barcha bionomik koeffitsientlar noldan farq qiladi va formulaning o'ng qismi cheksiz bir qator a'zolarni oladi (bionomik qator). Nyutonning dini matematikaning ko'plab sohalarida, xususan, algebra va sonlar nazariyasida rol o'ynaydi.

Nyuton Binomi-polinomda ikki barmoqli (a + b ) n ning o'zboshimchalik bilan tabiiy darajasini ajratish uchun algebraik formula. Har birimiz formula "kvadrat miqdori" (a+b)2 va "kub miqdori" (a+b)3 yurakdan biladi,lekin polinom a'zolari bilan koeffitsientlar ta'rifi bilan darajasi ortishi bilan engish uchun oson emas qiyinchiliklar, boshlanadi, lekin bu bizga "Nyuton dini"yordam beradi.

Tabiiy formula bilan Nyuton Dürbününün ko'rinishi bor:

,

qaerda-binominal koeffitsientlar, dasturiy ta'minot mavjud va ramz"!"bu faktorial belgisi.

Nyuton dürbününün formulasi jami kvadrat shaklida ko'rinadi, chunki bu uning maxsus ishi.

Dürbününün o'ng qismi dekompozitsiya deb ataladi va bu ifoda, bu erda parchalanishning uch a'zosi hisoblanadi .

Turli n uchun binomial koeffitsientlarni taqdim etish Paskalning arifmetik uchburchagi deb ataladigan jadval yordamida amalga oshiriladi. Jadvalning umumiy ko'rinishi:

Tabiiy n bilan Paskalning bunday uchburchagi dürbün koeffitsientlari qiymatlaridan iborat:

Uchburchakning tomonlari birliklarning qiymatiga ega. Ichkarida qo'shni tomonlarning ikki raqamini qo'shganda olingan raqamlar mavjud. Qizil rangda ta'kidlangan qiymatlar to'rtta va ko'k oltitasi sifatida olinadi. Qoida uchburchakning bir qismi bo'lgan barcha ichki sonlar uchun amal qiladi. Koeffitsientlarning xususiyatlari Nyuton dürbünü yordamida tushuntiriladi.

Nyuton dürbününün umumiy ko'rinishi:

Haqiqatan ham, bu formula to'g'ri va matematik indüksiyon usuli bilan isbotlanishi mumkin.

Nyuton binomining formulasini isbotlash uchun biz bionomik koeffitsientlarning quyidagi xususiyatlariga muhtojmiz:

Keling, Nyuton dürbününün formulasini isbotlashga harakat qilaylik

Birinchidan, formulalar to'g'ri, buning uchun tegishli qiymatni almashtirish orqali ishonch hosil qilish oson .

Ikkinchidan, uni yozing :

Ushbu formuladan foydalanib, quyidagi ifodani topamiz

Bunday shartlarni beramiz:

Binomial koeffitsientlarning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagi turni qo'lga kiritamiz:

Ya'ni, ikkinchi qadam formulasidan oxirgi formuladan kelib chiqadi, shuning uchun Nyuton dürbününün formulasi har qanday tabiiy uchun to'g'ri

Dürbün formulasi isbotlangan. Formuladan foydalanishning to'liq tushunchasi uchun misollarni ko'rib chiqing.

Misol 1. Dekompozitsiyani yozib oling

Qaror.

Oltita a'zoning ajralib chiqishi, shuning uchun birinchi uchta binomial koeffitsientni yozish kifoya. Natijada, biz ^olish

Misol 2. Polinomdagi koeffitsientni yozing .

Qaror. P(x) ning Nyutonning bi-bi-siga bo'linishi quyidagicha:

Misol 3. Tabiiy ifoda ma'nosini isbotlang, qoldiqsiz 16ga bo'linadi.

Qaror. So'zni shaklda tasavvur qiling va Nyuton dürbünü foydalaning. Keyin buni olamiz

Olingan iboradan asl ifodani 16-ga bo'linmasdan ajratish mumkin.

Nyuton Binomi, Paskal uchburchagi.

Vladimir Mixaylev

Ifodalar, ifodalarning o'zgarishi

Nyuton Binomi formula hisoblanadi.

Nyuton dürbününün formulasi tabiiy uchun n bu ko'rinishga ega  , qaerda  - n dan k ga kombinatsiyalarni ifodalovchi bionomik koeffitsientlar, k=0,1,2,…,n, va"!"bu faktorial belgisi).

Misol uchun, qisqartirilgan ko'paytirishning "kvadrat miqdori" turining ma'lum formulasi   Nyuton dürbününün maxsus ishi bor n=2.

Nyuton dürbününün formulasining o'ng tomonida joylashgan ifoda (a+b)^{n deb ataladi}va ifoda  (k+1)parchalanishning uchinchi a'zosi, k=0,1,2,..., n.

Nyuton binomining koeffitsientlari, bionomik koeffitsientlarning xususiyatlari, Paskal uchburchagi.

Paskal Uchburchagi.

Turli uchun binomial stavkalari n arifmetik deb ataladigan jadval shaklida tasavvur qilish qulay Paskal uchburchagi. Umumiy holda, Paskal uchburchagi quyidagi shaklga ega: 

Paskalning uchburchagi tabiiy ravishda Nyuton dürbün koeffitsientlari shaklida keng tarqalgan :

Paskal uchburchagi tomonlari birliklardan iborat. Paskal uchburchagi ichida yuqoridagi ikkita tegishli sonni qo'shib olingan raqamlar mavjud. Misol uchun, o'nta qiymat (qizil rangda ajratilgan) to'rt va oltitaning yig'indisi (ko'k rangda ajratilgan) sifatida olinadi. Bu qoida Paskal uchburchagini tashkil etuvchi barcha ichki sonlar uchun amal qiladi va Nyuton dürbün koeffitsientlarining xususiyatlariga bog'liq.

Binomial koeffitsientlarning xususiyatlari.

Nyuton dürbün stavkalari uchun quyidagi xususiyatlar amal qiladi:

• 
  ajralishning boshidan va oxiridan teng bo'lgan koeffitsientlar bir-biriga teng  , p = 0,1,2,..., n;
  
• 
  ;
  
• 
  binomial koeffitsientlar yig'indisi Nyuton dürbünün darajasiga teng darajada ko'tarilgan 2 soniga teng:  ;
  
• 
  hatto joylarda turgan binomial koeffitsientlar yig'indisi g'alati joylarda turgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng.
  

Birinchi ikkita xususiyat-kombinatsiyalar sonining xususiyatlari.

Nyuton dürbününün formulasini isbotlash.

Biz Nyuton dürbününün formulasini isbotlaymiz, ya'ni tenglik adolatini isbotlaymiz  .

Biz matematik indüksiyon usulini isbotlash uchun foydalanamiz.

1. 
   Keling , n = 3 uchun ba'zi n uchun ajralish adolatini tekshirib ko'raylik . 
   

Ular to'g'ri tenglik oldilar.

2. 
   Tenglik n-1 uchun to'g'rideb hisoblang, ya'ni tenglik adolatli  .
   
3. 
   Ikkinchi nuqta taxminiga asoslangan tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaymiz .
   

Boraylik! 

Qavslarni ochish 

Guruhlash shartlari 

Shunday qilib , keyin  ; chunki , keyin  ; bundan tashqari, kombinatsiyalar xususiyatidan foydalanib , biz olamiz 

Ushbu natijalarni yuqoridagi tenglikka almashtirish   Nyuton dürbününün formulasiga keling  .

Bu Nyuton binomining formulasini isbotladi.

Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish.

Nyuton dürbününün formulasi ishlatiladigan misollar uchun batafsil echimlarni ko'rib chiqing.

Misol.

Nyuton dürbünü formulasiga ko'ra, ifoda (a+b)^{5 ning ayrışmasını yozing}.

Qaror.

Beshinchi darajaga mos keladigan Paskal uchburchagi chizig'iga qarang. Binomial koeffitsientlar raqamlar bo'ladi 1, 5, 10, 10, 5, 1. Shunday qilib, bizda bor  .

Misol.

Nyuton dürbün koeffisiyenti, ifodani buzishning oltinchi a'zosi uchun toping  .

Qaror.

Bizning misolimizda n = 10, k = 6-1=5. Shunday qilib, biz kerakli bionomik koeffitsientni hisoblashimiz mumkin: 

Xulosa qilib aytganda, Nyuton dürbününün foydalanish, so'zning muayyan songa bo'linishini isbotlashga imkon beruvchi misolni ko'rib chiqing.

Misol.

N – tabiiy raqam bo'lgan ifoda qiymati 16 tomonidan qoldiqsiz bo'linishini isbotlang.

Qaror.

Keling, Nyuton dürbününün formulasini qanday qilib ishlatishimiz haqida birinchi atamani tasavvur qilaylik : 

Olingan mahsulot asl ifodani 16-ga ajratishni tasdiqlaydi.

Foydalanilgan manbalar ro'yxati

Buyuk sovet Ensiklopediyasi TSB, 1964. [Elektron resurs] - URL: https://litlife.club/books/106169/read?page = 11(murojaat sanasi 20.12.2020)

Matematika bo'yicha maqola: "Nyuton dini" [elektron resurs] - URL: https://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg31.html (murojaat sanasi: 19.12.2020)

"Nyuton Binomi" [elektron resurs] - URL: http://wiki.laser.ru/be/bse/001/008/082/931.htm (murojaat sanasi 18.12.2020)