Nuqtalarning garmonik turtligi

---

NUQTALARNING GARMONIK TURTLIGI. 

TULIQ TO`RT  UCHLIK 

 

T a ` r i f .  Agar turtta A, B, C, D nuqtaning murakkab nisbati (ABCD) = -1 bulsa, A, B, C, D nuqtalarni 

garmonik  joylashgan deyiladi. 

Nuqtalarning garmonik turtligi proektiv geometriyada muhim rol` uynaydi va ajoynb xossalarga ega. 

1. 

,

,

,

,

.

C D

A B

A B C D







 

Bu xossa ta`rifdan be vosita kelib chiqadi. 

2. 

Agar A,  B, C, D garmonik  nuqtalar  bulsa, nuqtalar  juftlarining urinlarini almashtirsak  va hap  bir 

juftdagi nuqtalarning urinlarini ham almashtirsak, garmonik turtlikning murakkab nisbati uzgarmaydi. 

Bu xossadan, agar (AB CD) = -1 bulsa, (BACD) = (AB DC) =  (CDAB) = (DCA B) = (CDBA) = (DC 

B A) = - 1 munosabatlar kelib chitsadi. 

T a ` r i f .  Har uchtasi bir to`g`ri chiziqda yotmaydigan turtta R, Q, R, S nuktalar va bu nuqtalarning ikkitasi 

orqali utuvchi oltita to`g`ri chiziqdan iborat figura tuliq turt uchlik deb ataladi. 

Nuqtalar turtuchlikning uchlari, bu nuqtalarni birlashtiruvchi to`g`ri chiziqlar uning tomonlari deyiladi. 

 

Tuliq turt uchlikning RP va QS,  PS va RQ,  RS va PQ qarama- qarshi tomonlari mos ravishda A,  B,  T 

nuqtalarda kesishadi, bu nuqtalarni turt uchlikning diagonal nuqtalari, ularni birlashtiruvchi AT, TB va A B tug`ri chiziqlar 

esa diagonallari deyiladi. Uchinchi diagonal nuqta T dan utuvchi PQ va RS tomonlarning AB diagonal bilan kesishgan 

nuqtalariii C, D deb olaylik. Biz 

(ABCD) = -1 

                                                                      (1) 

ekanligini isbot qilamiz. 

R nuqtani markaz tsilib A,B, C, D nuqtalarni PQ to`gri chiziqqa proektsiyalab, ushbu munosabatga ega 

bulamiz: 

(ABCD) = (QPTD). 

 

S nuqtani markaz qilib Q, R, T, D nuqtalarni AB tqri chiziqqa proektsiyalab, quyidagini qosil qilamiz: 

(QPTD) = (BACD).                                            

(3) 

---

(2) va (3) larni e`tiborga olib, 

(ABCD) = (BACD) 

ni yoza olamiz. 

Murakkab nisbat xossasiga asosan: 

(ABCD) = (ABCD)

-1 

bundan 

(ABCD) = ± 1. 

(ABCD) =1 tenglik yuz berpshi mumkin emas, chunki bu xolda S, D nuqtalar ustma-ust tushadi, demak, TS 

va TD tug`ri chiziqlar ham ustma- ust tushadi. Bu esa R, Q, R, S nuqtalar bir tug`ri chiziqta yotadi, degan natijaga 

keltiradi, bu shartga ziddir. Shuning uchun: 

(ABCD) =-1 

(2)



(QPTD)=-1. 

Shunday qilib, quyidagicha teoremani isbotladik. 

Teorema.  1) Tuliq  turt  uchlikning  xar  bir  diagonalida birinchi  jufti  diagonal  nuqtalardan,  ikkinchi  jufti  esa 

uchinchi  diagonal  nuqtadan  utuvchi  qarama-  qarshi  tomonlarning  bu  diagonal  bilan  kesishishidan  qosil  bulgan 

nuqtalarning garmonik turtligi mavjud. 

2) 

Tuliq turt uchlikning qar bir tomonida birinchi jufti turt uchlikning uchlaridan, ikkinchi jufti diagonal 

nuqta  va  bu  tomon  bilan  dolgan  ikkita  diagonal  nuqtalaridan  utuvchi  to`g`ri  chiziqning  kesishishidan  xosil  bulgan 

nuqtalarning garmonik turtligi mavjud. 

Agar 

D



 cheksiz uzoq nuqtani bildirsa, 

(

)

(

),

1;

AC

ABCD

ABC

CB



 



 

 

.

AC

BC



 

Demak, C nuqta A B kesmaning urta nuqtasi buladi. 

M a s a l a .  Berilgan uchta A, B

,

 C nuqtaga garmonik turtinchi D nuqtani yasang. 

E ch i sh. A, B -diagonal nuqtalari,  AB -diagonal tug`ri chizig`i bulgan tuliq turt uchlikni yasaylik. 

Buning uchun A nuqta orqali ixtiyoriy ikkita tug`ri chiziq, C nuqta orqali esa bitta tug`ri chiziq o`tkazamiz (62-chizma). 

Bu tug`ri chiziqlarning kesishgan nuqtalarini X,U bilan belgilaymiz, ular tuliq turt uchlikning uchlari buladi. Shunga 

uxshash turt uchlikning qolgan uchlari -Z, T nuqtalarni topamiz. TZ tug`ri chiziq bilan AB tug`ri chiziqning kesishish 

nuqtasi izlangan D nuqta buladi. 

 

---