NUQTALARNING GARMONIK TURTLIGI.
TULIQ TO`RT UCHLIK
T a ` r i f . Agar turtta A, B, C, D nuqtaning murakkab nisbati (ABCD) = -1 bulsa, A, B, C, D nuqtalarni
garmonik joylashgan deyiladi.
Nuqtalarning garmonik turtligi proektiv geometriyada muhim rol` uynaydi va ajoynb xossalarga ega.
1.
,
,
,
,
.
C D
A B
A B C D
Bu xossa ta`rifdan be vosita kelib chiqadi.
2.
Agar A, B, C, D garmonik nuqtalar bulsa, nuqtalar juftlarining urinlarini almashtirsak va hap bir
juftdagi nuqtalarning urinlarini ham almashtirsak, garmonik turtlikning murakkab nisbati uzgarmaydi.
Bu xossadan, agar (AB CD) = -1 bulsa, (BACD) = (AB DC) = (CDAB) = (DCA B) = (CDBA) = (DC
B A) = - 1 munosabatlar kelib chitsadi.
T a ` r i f . Har uchtasi bir to`g`ri chiziqda yotmaydigan turtta R, Q, R, S nuktalar va bu nuqtalarning ikkitasi
orqali utuvchi oltita to`g`ri chiziqdan iborat figura tuliq turt uchlik deb ataladi.
Nuqtalar turtuchlikning uchlari, bu nuqtalarni birlashtiruvchi to`g`ri chiziqlar uning tomonlari deyiladi.
Tuliq turt uchlikning RP va QS, PS va RQ, RS va PQ qarama- qarshi tomonlari mos ravishda A, B, T
nuqtalarda kesishadi, bu nuqtalarni turt uchlikning diagonal nuqtalari, ularni birlashtiruvchi
AT, TB va A B tug`ri chiziqlar
esa diagonallari deyiladi. Uchinchi diagonal nuqta T dan utuvchi PQ va RS tomonlarning AB diagonal bilan kesishgan
nuqtalariii C, D deb olaylik. Biz
(ABCD) = -1
(1)
ekanligini isbot qilamiz.
R nuqtani markaz tsilib A,B, C, D nuqtalarni PQ to`gri chiziqqa proektsiyalab, ushbu munosabatga ega
bulamiz:
(ABCD) =
(QPTD).
S nuqtani markaz qilib Q, R, T, D nuqtalarni AB tqri chiziqqa proektsiyalab, quyidagini qosil qilamiz:
(QPTD) =
(BACD).
(3)
(2) va (3) larni e`tiborga olib,
(ABCD) =
(BACD)
ni yoza olamiz.
Murakkab nisbat xossasiga asosan:
(ABCD) = (ABCD)
-1
bundan
(ABCD) = ± 1.
(ABCD) =1 tenglik yuz berpshi mumkin emas, chunki bu xolda S, D nuqtalar ustma-ust tushadi, demak, TS
va TD tug`ri chiziqlar ham ustma- ust tushadi. Bu esa R, Q, R, S nuqtalar bir tug`ri chiziqta yotadi, degan natijaga
keltiradi, bu shartga ziddir. Shuning uchun:
(ABCD) =-1
(2)
(QPTD)=-1.
Shunday qilib, quyidagicha teoremani isbotladik.
Teorema. 1) Tuliq turt uchlikning xar bir diagonalida birinchi jufti diagonal nuqtalardan, ikkinchi jufti esa
uchinchi diagonal nuqtadan utuvchi qarama- qarshi tomonlarning bu diagonal bilan kesishishidan qosil bulgan
nuqtalarning garmonik turtligi mavjud.
2)
Tuliq turt uchlikning qar bir tomonida birinchi jufti turt uchlikning uchlaridan, ikkinchi jufti diagonal
nuqta va bu tomon bilan dolgan ikkita diagonal nuqtalaridan utuvchi to`g`ri chiziqning kesishishidan xosil bulgan
nuqtalarning garmonik turtligi mavjud.
Agar
D
cheksiz uzoq nuqtani bildirsa,
(
)
(
),
1;
AC
ABCD
ABC
CB
.
AC
BC
Demak, C nuqta
A B kesmaning urta nuqtasi buladi.
M a s a l a . Berilgan uchta A, B
,
C nuqtaga garmonik turtinchi
D nuqtani yasang.
E ch i sh. A, B -diagonal nuqtalari, AB -diagonal tug`ri chizig`i bulgan tuliq turt uchlikni yasaylik.
Buning uchun A nuqta orqali ixtiyoriy ikkita tug`ri chiziq, C nuqta orqali esa bitta tug`ri chiziq o`tkazamiz (62-chizma).
Bu tug`ri chiziqlarning kesishgan nuqtalarini X,U bilan belgilaymiz, ular tuliq turt uchlikning uchlari buladi. Shunga
uxshash turt uchlikning qolgan uchlari -Z, T nuqtalarni topamiz. TZ tug`ri chiziq bilan AB tug`ri chiziqning kesishish
nuqtasi izlangan D nuqta buladi.