Number Theory: Structures, Examples, and Problems

Andrica’s conjecture
states that the following inequality holds:
A
n
<
1
,
for any positive integer
n
. Results connected to this conjecture are given in D.
Andrica [
On a Conjecture in Prime Number Theory
, Proc. Algebra Symposium,
“Babes¸-Bolyai” University of Cluj, 2005, pp. 1–8]. A search conducted by H.J.
Smith has grown past
n
=
26
·
10
10
, so it seems highly likely that the conjecture
is true.
(2) If
p
is a prime such that
p
+
2 is also a prime, then
p
and
p
+
2 are called
twin primes
. It is not known whether there are infinitely many twin primes. The
largest known such pair is 100314512544015
·
2
171960
±
1, and it was found in
2006.
(3) The following property has been conjectured by Michael Th. Rassias, an
International Mathematical Olympiad Silver Medal winner in 2003 in Tokyo: For
any prime
p
greater than two there are two distinct primes
p
1
,
p
2
with
p
1
<
p
2
such that
p
=
p
1
+
p
2
+
1
p
1
.
This is equivalent to the following statement: For any prime
p
greater than two
there are two primes
p
1
,
p
2
with
p
1
<
p
2
such that
(
p
−
1
)
p
1
,
p
2
are consecutive
integers [
Octogon Mathematical Magazine
,
13
(1.B), 2005, p. 885].
For a prime
p
we say that
p
k
fully divides n
and write
p
k
n
if
k
is the greatest
positive integer such that
p
k
|
n
.
Problem 1.2.1.
Prove that for any integer n
>
1
the number n
5
+
n
4
+
1
is not a
prime.
2
Jacques Salomon Hadamard (1865–1963), French mathematician whose most important result is
the prime number theorem, which he proved in 1896.
3
Charles Jean Gustave Nicolas de la Vall´ee Poussin (1866–1962), Belgian mathematician who
proved the prime number theorem independently of Hadamard in 1896.
4
Paul Erd˝os (1913–1996), one of the greatest mathematicians of the twentieth century. Erd˝os posed
and solved problems in number theory and other areas and founded the field of discrete mathematics.
5
Atle Selberg (1917–2007), Norwegian mathematician known for his work in analytic number
theory and in the theory of automorphic forms.

---