Normatov matematikatarixi

Integralhisobi(flyuksiyanazariyasi)

Flyuksiya nazariyasining muallifi Nьyuton bu nazariya asosiga quyidagi ikkita masalani qo’yadi:

1. 
   Berilgan yo’l bo’yicha berilgan vaqt momentida xarakat tezligini aniq- lash, ya’ni matematika tilida flyuentalar orasidagi bog’lanish berilgan bo’lsa, flyuksiyalar orasidagi bog’lanishni topish.
   
2. 
   Berilgan xarakat tezligi bo’yicha berilgan vaqt oralig’ida bosib o’tilgan yo’lni topish, ya’ni matematikada xarakat turlarini abstraktlashtirilgan xoli–o’zgaruvchimiqdorlar.Bularerksizo’zgaruvchilarbo’lib,umumiy
   

63

tilda flyuksiyalar orasidagi bog’lanishga ko’ra flyuentlar orasidagi bog’lanishni topish.

Flyuenta nima – uzluksiz mexanik harakat turlarini abstraktlashtirilgan holi – o’zgaruvchi miqdorlardir. Bular erksiz o’zgaruvchilar bo’lib, umumiy argument – vaqt – egadirlar.

Flyuksiya nima – flyuentning o’zgarish tezligi, ya’ni vaqt bo’yicha hosilasi. Flyuksiyao’zgaruvchibo’lganisabablikeyingiflyuksiyalarniqarashmumkin:

y,y,y,y,...

Oniy tezlik-flyuktsiyani hisoblash uchun Flyuentning juda kichik o’zgarish- momentiniNьyutonquyidagichabelgilaydi:vaqtmommentiO,flyuentamomenti

y=>Oyoniytezliknivaqtmomentigako’paytmasi.

Ko’rinib turibdiki, 1-masala oshkormas funktsiyani umumiy holda diferentsial- lash va natijada tabiat qonuniyatlarining diferentsial tenglamasini chiqarishdan ibo- rat. 2-masalaflyuksiya nazariyasidagi teskari masala – differentsial tenglamalarni integrallash masalasidir. Boshqacha aytganda boshlang’ich funktsiyani topishbo’lib, bu aniqmas integraldir. 3-masala uchun qoida – funktsiyalarni diferentsial- lashning algoritmini Nьyuton bo’yicha ko’raylik.

Flyuentlar orasidagi bog’lanish x³– ax²+ axu – u³= 0 berilgan bo’lsin. Ќar flyuentgauningmomentiqo’yilganx0bo’lsin:(x+x0)³–a(x+x0)²+a(x+x0)(u+y0)- (u+ y0)³=0.Qavslarniochibgruppalagandanso’ng(x³-ax²+axu-u³)+(3x²x0-20xx0+ax y 0+ax0u-3u²y 0)+(3xx²0-ax²0²+axy 0²-3u y ²0²)+x³0³- y ³0³=0.

Birinchiqavsnolьgateng(shartgako’ra),qolganhadlarnivaqtmomentigabo’lib,0

qatnashmaganhadlarniolamiz,0qatnashganhadlarnicheksizkichiklarsifatida

tashlabyuboramiz.Natijada:3x²x-2axx+axy+axy-3u²y=0flyuksiyalarorasidagi bog’lanishga ega bo’lamiz.

Boshqa

u holda z²=ax-y² bo’lib:

2zz

ax2y

(murakkab funktsiyani differkntsiallash

qoidasigako’ra).

Murakkab vaziyatlarda Nьyuton funktsiyalarni darajali qatorga yoyib, keyin ularni diferentsiallagan.

Flyuksiyalar nazariyasiga teskari bo’lgan masala – flyuksiyalar orasidagima’lum munosabatlarga asosan flyuentlar orasidagi munosabatlarni aniqlashdir. Bu masala o’zining qo’yilishiga ko’ra umumiy bo’lib, ixtiyoriy differentsial tenglamani integrallash masalasiga ekvivalentdir.

Flyuksiyalarni topish natijalarinitekshirishjarayonidaNьyutonko’plabkvadra- tura masalalarini ham qiladi va nihoyat o’zgarmas qo’shiluvchini zarurligini hal qila- di.Shubilanbirgaixtiyoriydifferantsialtenglamaniintegrallashnatijalarikutilgan

64

natijani bermasligini tez orada sezgan Nьyuton funktsiyani darajali qatorga yoyish metodidan foydalanadi. Jumladan:

1. 
   (a+b)ⁿ,ntegishliQuchun,danfoydalanish;
   
2. 
   kasr-ratsionalfunktsiyanisuratinimaxrajigabo’lish;
   
3. 
   noma’lumkoeffitsientlarmetodidan;
   
4. 
   o’zgaruvchinialmashtirish,natijadaqatorgafunktsiyauemasbalkiy ga nisbatan qulay tanlab olingan funktsiya qatorga yoyiladi;
   
5. 
   koordinatalarsistemasinialmashtirishvaboshqalar.
   

Flyuksiyalar nazariyasiga oid natijalarni u XVII asrning 60-70 yillar oralig’ida ochgan bo’lib, 1686-87 yillarda e’lon qilgan “Tabiiy filosofiyaning matematik bosh- lanishi”asaridabayon etadi.Bundaykeche’lonqilinishigasabab cheksizkichikbilan bog’liq hadlarni tashlab yuborishini asoslash edi. Bu muammodan qutulish uchun u yuqoridagi kitobning birinchi bobida “Birinchi va oxirgi nisbatlar metodi haqida” fikr yuritadi.

Metodning mohiyati: cheksiz kichiklar va limitlar haqida teoramalarni isbot- lashdan iborat edi.

EndiqisqachaLeybnitsishlaribilantanishaylik:

1. 
   qatorlaryig’indisinihisoblash(1673y);
   
2. 
   urinma haqidagi masalani echish, Paskalьning xarakteristik uchburchagiva so’nggi elementlarni cheksiz kichiklarga aylantirish;
   
3. 
   urinmaga teskari masala, cheksiz kichik ayirmalarning yig’indisini hisob- lash, differentsial va integral masalalarining o’zaro teskari ekanligini ochi- lishi (1676 y);
   
4. 
   qulaybelgilashlarsistemasiniyaratish.
   

1684 yili e’lon qilingan "Maksimumlar, minimumlar hamda urinmalarni hisoblashning yangi metodi" asarida yuqoridagi masalalarni muvaffaqiyatli hal qildi. Bu asarboryo’g’i10 bet bo’lib,garchiisbotlashlarbo’lmasaham,differentsialhisobi matematik tekshirishlar ob’ekti sifatida namoyon bo’ladi. Differentsiallash qoidala- ri: o’zgarmas miqdorlarni, funktsiyalar yig’indisi va ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasi, daraja va ildiz berilgan.

1686 yili e’lonqilinganmaqolasidako’pginaelementarfunktsiyalarniintegral- lash qoidalari berilgan.

Bundan keyiingi ishlarida 1693 yili transtsendent funktsiyalarni qatorgayoyish bilan integrallash va differentsiallash; 1695 yilda ko’rsatkichli funktsiyani va ko’paytmani ketma-ket differentsiallash (manfiyko’rsatkichli), 1702 yilda ratsional kasrlarni integrallash qoidalarini beradi. Lekin Leybnits ham cheksiz kichiklarga oid masalani to’liqligicha hal qila olmadi.

Yakunida bu yangi metodning avtori Nьyutonmi yoki Leybnitsmi degan muammoga to’xtaylik.

Nьyuton avvalroq natijalarga erishgan bo’lsa ham (1665-66), keyin (1686-87) e’lon qilgan. Uslubi murakkab mexanik uslubdir.

65

Leybnits avvalroq e’lon qiladi (1684) algoritmning va belgilashning qulayligiva aktiv targ’ib qilishi. Uslubi sof geometrik uslub.