Normatov matematikatarixi

ух ¹у²

2

1. 
   _Р
   
2. 
   2у
   

)(х²

ух ¹у²

2

1. 
   Р )
   
2. 
   2у
   

0deb,buerdauu²ganisbatan

kubikbo’lganu⁶+2ru⁴+(r²-4r)u²–q²=0orqalianiqlaydi(isbotsiz).

3-, 4- darajali tenglamalarni geometriya vositalari yordamida echishni ikki o’rta iroportsional miqdorni va burchakni teng uchga bo’lishni yasash masalasiga olib keladi (arabcha usulda).

Kitobni muhokamasini yakunlar ekanmiz, uning bir qator kamchiliklarini sa- nab o’taylik.

1. 
   faqatalgebrikchiziqlarqaraladi;
   
2. 
   chiziqlarniklassifikatsiyasidarajabo’yichaemas;
   
3. 
   algebrikapparatnigeometriyagatadbiqinihoyasigaetmaydi;
   
4. 
   koordinatalaro’qlaritengkuchliemas;
   
5. 
   chiziqlarningxossalarifaqat1-chorakdao’rganilgan.
   

Dekart bilan bir vaqtda analitik geometriyaga asos solgan olim Frantsiyaning TuluzashahridanPьerFerma(1601-1665,savdogaroilasidan).AsliTuluzauniversi-
56

tetini yuridik fakulьtetini bitirgan. Bo’sh vaqtlarida matematika bilanshug’ullangan. Sonlar nazariyasi, geometriya, cheksiz kichiklar ustida operatsiyalar bajarish va op- tika sohalarida katta yutuqlarga erishdi. Uning “Tekislikdagi va fazodagi geometrik o’rinlar nazariyasiga kirish” asari 1636 yili yozilgan bo’lib, 1679 yili e’lon qilingan. Bu asarda Ferma analitik geometriya nazariyasini olg’a suradi, ya’ni koordinatalar to’g’ri chizig’i va algebrik metodlarni geometriyaga tatbiq etilishini ko’rsatadi. Bu asarda u Apolloniyning geometrik o’rinlar nazariyasini rivojlantirib, tekislikdagi geometrik o’rinlar – to’g’ri chiziq va aylana hamda fazodagi geometrik o’rinlar – ko- nus kesmalarini o’rganish bo’lib, 1-darajali tenglamalarga – to’g’ri chiziq va konus kesmalarga 2- darajali tenglamalar mos kelishini ko’rsatadi. Koordinatalar metodi Dekartnikidaka edi.

Dastlab u koordinata boshidan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi ax=vu ko’rinishda ekanligini isbotlaydi, so’ngra to’g’ri burchakli koordinatalarda markazi koordinata boshida bo’lgan aylana tenglamasini; asimptotalar orqali giperbolani; diametri orqali parabolani; qo’shma diametrlar orqali ellips tenglamalarini chiqara- di.

1. 
   va2-darajalitenglamalarniumumiyko’rinishdatekshirib,koordinatalarni
   

o’zgartirish (o’qlarni burish va koordinata boshini siljitish) natijasida ularni kanonik formaga keltiradi va geometrik izohlashni qulaylashtiradi.

Misol:2x²+2xu+u²=a²⇒(x+u)²+x²=a²

Yangio’qlarnitanlaymizx+u=0,x=0;uholdayangikoordinatalarx₁= x,

2а² х²

у

2
u₁=x+ubo’lib,tenglama ¹

1

2ko’rinishgakeladi.Apolloniybo’yichabuellips

ediy=mx,xy=k²,x²+y²=a²,x²±a²y²=v².

Fazodagigeometriko’rinlarnianalitikgeometriyayordamidao’rganishda

Ferma sirtlarni tekislik bilan kesish usulidan foydalanadi. Afsuski, u bu ishni davom ettirmaydi va unda fazoviy koordinatalar yo’q edi.

Biz analitik geometriya elementlarini o’z ichiga olgan asarlardan ikkitasi bilan tanishdik. Qariyb 70 yil davomida bu soha sekinlik bilan rivojlandi.

1658yiliyarimkubikparabolamasalasihalqilindi. 1679yiliF.Lagir(1640-1718)tekisliktenglamasini,

1700yiliA.Paron(1666-1716)sferiksirtvaunga urinma tekisliktenglamalarini

topdi.

1704yildaI.Nьyuton“3-tartiblichiziqlarro’yxati”nomliasaridabusohanisis-

temagakeltiribbirozrivojlantirdi.

Klero (1713-1765) fazoda uch o’lchovli to’g’ri burchakli koordinatalar sistema- sini kiritdi.

1748 yilda L.Eyler “Analizga kirish” asarida busohanihozirgi zamon analitikgeometriya ko’rinishiga yaqinlashtirdi.

NominiesaXVIIIasroxiridafrantsuzS.Lakruaberdi.

57

Bu davrmatematiklario’zishlaridamatematikaning yangi vaeskiturlisohala- rini qamrab oldilar. Ular klassik bo’limlarni yangi metodlar bilan boyitish bilan birga ulardan yangi sohalarni va umuman yangi sohalarni kashf etdilar.

Jumladan Ferma Diofantni o’rganish bilan qadimgi sohani yangi metodlar bi- lan boyitdi (sonlar nazariyasi).

Dezarg esa geometriyaniyangicha interpretatsiya qilish bilan proektiv geo- metriyani ijod etdi.

Ferma, Paskalь matematikaning mutlaqo yangi sohasi ehtimollar nazariyasi- ga asos soldilar.

Endiularningassoiyishlaribilantanishaylik.

1. 
   1621 yilda Diofant asari lotin tilida chiqadi. Bu kitobni o’rgangan Ferma ki- tob varag’ining chetida bir qancha yozuvlar qoldirgan (1670 yili o’g’li e’lon qilgan). xⁿ+yⁿ=zⁿ, agar n>2 bo’lsa, butun musbat sonlar to’plamida echimi yo’q (Fermaning buyuk teoremasi).
   

2. 
   kitobning 8-masalasiga – kvadrat sonni ikkita kvadrat songa ajratish – qar- shisigakubni ikkita kubga, to’rtinchi darajani vahokazo2 dankattabo’lgandarajani shu ko’rsakkich bilan ifodalangan ikkita daraja ko’rinishida tasvirlash mumkin emas deb yozadi va isbotinijoy etmaganini bohonasida keltirmaganini ko’rsatadi.
   

Yana bir joyda 4n+1 ko’rinishdagi tub son faqat birgina usulda ikkita kvadrat- larning yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. Bu teoremani keyinroq Eyler isbot- ladi.

Agarrtub,(a,r)=1bo’lsa,a^r-1-1∶rniisbotlaydi.x²-Au²=1,Abutunvakvadrat emas bo’lganda cheksiz ko’p butun echimlarga ega bo’ladi deydi.

2. 
   Lionlik arxitektor Jerar Dezarg 1636 yilda e’lon qilgan “Konusni tekislik bi- lan uchrashganida hosil bo’ladigan narsalarni tushunish uchun urinish” maqolasida sintetik geometriyaning asosiy tushunchalaridan ba’zilari: cheksiz uzoqlashgan nuqta, involyutsiya, qutbdagi munosabatlar va boshqalar haqida gap yuritadi. 1641 yil 16 yashar Paskalь konus kesimga ichki chizilgan oltiburchak haqida“Paskalь teo- remasini” isbotlaydi va bir varaqda e’lon qiladi. Bu Dezargga yangi ilhom baxsh eta- di. Natijada 1648 yili Dezarg uchburchaklarni perspektiv akslantirish haqidagi teo- remasini yangidan bayon etadi. Bu fikrlarning aktualligi va sermahzulligi XIX asrga kelib to’la ma’noda ochiladi.
   
3. 
   FermavaPaskalь (1623-1662) ehtimollarnazariyasiningasoschilaridir.Das- tlab ehtimollik sug’urta ishlariningrivojlanishi bilan bog’liqdir (Birinchi sug’urta tashkilotlari XIV asrda Italiya, Niderlandiyada paydobo’ldi). Shu bilan bir qatorda matematiklar oldiga qimor o’yinlari (karta, ochkoli tosh) bilan bog’liq masalalar qo’yiladi. Jumladan Kavalьer de Mers (o’zi ham matematik bo’lgan) Paskalьga “Ochkolar haqida masala” bilan murojat etadi. Buning natijasida u Ferma bilan bir- galikda bu va shunga o’xshash masalalar bilan shug’ullanishadi va ular ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalarini hal (1654) etishadi. Parijga kelgan o’yugens bundan xabar topadi va masalaga o’zining echimini beradi va 1657 yili chiqqan “Qi-
   

58

mor o’yinlaridagi hisoblar haqida” asarida bayon etadi. Bu asar ehtimollar nazariya- siga oid birinchi asardir.

1664 yilda (o’limidan so’ng) Paskalь uchburchagi 1671 va 1693 yillarda de Vitt vao’elleylartomonidan tug’ilishvao’lishjadvalinie’lonqilinishivaaholinijoylashish statistikasi, kuzatishlarni nazariy ishlab chiqish metodlari va boshqalar ehtimollar nazariyasini fan sifatida shakllanishga olib keldi.

Ehtimollar nazariyasining bundan keyingi rivoji YakobBernulli(1654-1705) bi- lan bog’liqdir. 1713 yilda e’lon qilingan “Taxmin qilish san’ati”kitobining 1-bo’limida o’yugensning qimor o’yinlari haqida traktati to’liq berilgan keyingi bo’limlarida kombinatorika qaralgan bo’lib, Bernulli teoremasi va Paskalь uchburchagini qarash natijasida Bernulli sonlari paydo bo’lishi va nihoyat katta sonlar qonunining ochilishi ehtimollar nazariyasini ilmiy fan darajasiga ko’tardi.

Tekshirishsavollari:

1. 
   XVI-XVIIasrdagiilmiyrevolyutsiyanimadaniborat.
   
2. 
   Dekartanalitikgeometriyasiniizoxlang.
   
3. 
   Fermaanalitikgeometriyasiniizoxlang.
   
4. 
   Matematikakandayshakllandivarivojlandi.