Ni hosil qilamiz, bu yerda

5.2-§. Gauss metodi Bu metod bir necha hisoblash sxemalariga ega. Biz Gaussning kompakt sxemasigina bilan tanishamiz. Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin:
Faraz qilaylik, au + 0 (yetakchi element) bo‘lsin deb, sistemaning birinchi tenglamasidan

ni hosil qilamiz, bu yerda

(2) dan foydalanib, (1) sistemaning qolgan tenglamalaridan noma’lumni yo‘qotish mumkin, ya’ni (2)ni ketma-ket t larga ko‘paytirib, mos ravishda, ikkinchi, uchinchi va h.k. tenglamalaridan ayirsak, natijada quyidagi sistema hosil bo‘ladi:
(3)
bu yerda
(3) tenglamalar sistemasida a22 * 0 deb, yuqoridagidek jarayonni bajarsak,

sistemaga kelamiz, bu yerda

Shu jarayonni n marta bajarish mumkin bo‘lgan bo‘lsa, (1) tenglamalar sistemasi

(4)
ko'rinishga keladi. Bu tenglamalar sistemasidan ketma-ket lar aniqlanadi. (1) dan qadamma-qadam (4) ko‘rinishga kelish Gauss metodining to‘g‘ri yo‘li, (4) dan ketma-ket jq lami aniqlash Gauss metodining teskari yo‘li deyiladi. Faraz qilaylik, Gauss metodida to‘g‘ri yo‘lning m (m < n) ta qadami bajarilishi mumkin bo‘lgan bo‘lsin, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz;
(5)
bu verda
Gauss metodida bajarilishi mumkin bo'lgan qadamlaming soni m ga teng bo'lgan bo‘lsa, bu shuni anglatadiki, (5) sistemaning ikkinchi tenglamasidan boshlab yetakchi elementni ajratish mumkin emas, chunki barcha lar nolga teng.
Agar (5) da nolga teng bo‘lsa, (5) bitta tenglamadan iborat bo‘ladi. Endi barcha qadamdagi birinchi tenglamalami birlashtirib,

sistemani hosil qilamiz. Bundan larni orqali ifodalab olishimiz mumkin. Bu holda (1) cheksiz ko‘p yecliimga ega bo‘ladi. Agar (5) da laming hech bo‘lmaganda birortasi noldan farqli b o ‘lsa, u holda ( 1) yechimga ega emas bo‘ladi.

5.3-§. Kvadrat ildizlar metodi

Faraz qilaylik,
Ax = b (1)
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasida A simmetrik matritsa bo‘lsin, ya’ni Soddalik uchun kvadrat ildizlar metodini shu holda bayon etamiz. A matritsa simmetrik boMgani uchun uni
A = T'T (2)
ko‘rinishida yozish mumkin, bu yerda
T' ni T ga ko‘paytirib, lami aniqlash uchun quyidagi tenglamalarga ega boMamiz:

Bundan ketma-ket

larni aniqlaymiz. (1) sistema yagona yechimga ega bo ‘ ladi, agar bo‘lsa, chunki

, (2) ni e’tiborga olsak, (1) sistema ikkita T'y = b va Tx = y tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo‘ladi. Bu tenglamalar sistemasini ochib yozamiz:

(4)
Va
(5)
(4) dan ketma-ket,
(6)
lami topamiz. Topilganlardan foydalanib (5) dan ketma-ket

lami aniqlaymiz.
Shuni eslatib o‘tish lozimki, agar qandaydir s-satr uchun bo’lsa, mos ravishda elementlar mavhumbo’ladi.
Metodni bu holda ham qo’lash mumkin.
5.4-§. Haydash usuli
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi uch diagonalli bo’lgan holni qaraymi
(1)
Bu tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasini yozaylik.