Неопределенный интеграл

Например, если

то

Рациональная функция

Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е.

 

где — многочлен степени m,

a — многочлен степени n.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. m

в противном случае (если m≥n) рациональная дробь называется неправильной.

Пример.

Всякую неправильную рациональную дробь

Всякую неправильную рациональную дробь

можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

Пример

Простейшие рациональные дроби

где A, a, M, N, p, q – действительные числа.

Теорема 1.8. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители

Теорема 1.8. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители

 

 

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

 

Пример

Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей

Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (3) можно применить 2 метода.

Для нахождения неопределенных коэффициентов в равенстве (3) можно применить 2 метода.

• Метод неопределенных коэффициентов.

1). В правой части равенства (3) приведем дроби к общему знаменателю в результате получим тождество

где S(x) — многочлен с неопределенными коэффициентами.