Некоторые свойства операций над матрицами. Матричные выражения

Решение: произведение существует, причём итоговая матрица состоит из 1 строки и 2 столбцов:

Ответ: 
Пример 2
Умножить матрицы

Это пример для самостоятельного решения.
Предложенные примеры не случайны. Они вроде бы просты, но у начинающих здесь нередко возникает путаница с размерами матрицы-результата. Поэтому читателям с небольшим опытом целесообразно переписать вышеприведённую формулу и особенно серьёзно отнестись к практическим примерам.
А по каким принципам составляются начинка (суммы произведений чисел), думаю, все уже поняли. Дополнительно возьмём на вооружение образную ассоциацию, которая поможет хорошо запомнить действие. Читаем следующий параграф:
Как возвести матрицу в квадрат?
Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д.
Возвести квадратную матрицу  в квадрат – это значит, умножить её саму на себя:

Пример 3
Возвести в квадрат матрицу 
Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»:

Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =)
Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.
Ответ: 
Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже.
Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице
Материал, по меньшей мере, частично вам знаком. Для тех, кто не знает термина:
Коммутативность = Перестановочность.
Обычные числа переставлять можно:  , а матрицы в общем случае не перестановочны:  . Собственно, подробная иллюстрация с конкретными примерами уже была дана в статье Действия с матрицами.
Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач.
Если у квадратной матрицы  существует обратная матрица  , то их умножение коммутативно: 
Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно вычислить произведение  либо произведение  и убедиться в том, что получится единичная матрица  . Конкретные примеры можно посмотреть в статье Как найти обратную матрицу?
Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например:  ,  и т.д.
При этом справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу  умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица:

Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения.
Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи:  .
Желающие могут провести проверку и убедиться, что:

Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров.
Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц
Для матриц  и действительного числа  справедливо следующее свойство: