Некоторые сведения из анализа

Система дифференциальных уравнений. Нормальная система. Метод исключения неизвестных.

ПЛАН:

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

2 Система дифференциальных уравнений

3 Нормальная система

4 Метод исключения неизвестных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Системы дифференциальных уравнений
1°. Системы дифференциальных уравнений
, 
где x₁, x₂ - искомые функции от t, a_ij - постоянные числа; f₁(x), f₂(x) - заданные
функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка. 
Её методом исключения можно привести к одному линейному уравнению не выше второго порядка. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.
Пример 1 
Дифференцируем первое уравнение по t : . Подставляем сюда из
системы уравнений производные : 
. Из первого уравнения тогда
. Т .о., - линейное уравнение; решая его известным способом, найдем ; далее,  находим из соотношения
. Общее решение :
.
Решим задачу Коши с начальными данными : . 
.
.
2°. Системы дифференциальных уравнений
, (12.1)
где - искомые функции от x ; - постоянные числа; называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка. 
Систему можно, конечно, решить методом исключения, но можно решить более универсальным методом (методом Эйлера).
Если для системы (12.1) известна система линейно независимых частных решений (фундаментальная система решений):

тогда общее решение имеет вид . (12.2)
Частные решения ищем в виде : . После подстановки  в систему и сокращении на получаем систему уравнений для определения неизвестных : (12.3)
Чтобы эта однородная линейная система алгебраических уравнений имела ненулевое решение должно выполняться условие :
=0 (12.4)
Уравнение (12.4) называется характеристическим уравнением, а его корни -
характеристическими числами.
План решения системы (12.1) методом Эйлера :
♠ Раскрываем определитель (12.4) и находим корни (случаи кратных и комплексных
корней рассматривать НЕ БУДЕМ).
♠♠ Записывая и решая системы (12.3)  , находим неизвестные . Второе уравнение системы (12.3) является следствием первого, поэтому достаточно выписать одно из уравнений системы.
♠♠♠ Находим фундаментальную систему решений и записываем общее решение по формуле (12.2).
Пример 2 
Записываем определитель =0,
. Решаем первое уравнение системы (12.3)
, полагаем
, полагаем .
Т.о., -фундаментальная система.
- общее решение.
Пример 3 ; при .
Решаем уравнение ,  .
Решаем первое уравнение системы (12.3) :
, полагаем
, полагаем . 
Фундаментальная система :  .
Общее решение:  .
При x=0 имеем два уравнения для определения констант :
. Т.о., частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям: .

Системы дифференциальных уравнений

Мы ограничимся здесь рассмотрением систем дифференциальных уравне­ний первого порядка с двумя и тремя неизвестными функциями. Переход к общему случаю не представляет каких-либо принципиальных затруднений.
Определение 1. Нормальная система двух дифференциальных уравнений назы­вается линейной системой первого порядка, если она имеет вид
(1)
Определение 2. Линейная система дифференциальных уравнений (1) называ­ется однородной, если 
В дальнейшем обратимся лишь к частному случаю – однородной линей­ной системе с постоянными коэффициентами.
Решением системы (1) называется всякий набор из двух функций
, (2)
Обращающих оба уравнения системы (1) в тождество.
Задача Коши для системы (1) состоит в том, чтобы найти такое решение (2), которое при  принимало бы заданные значения (начальные условия)

Общее решение системы содержит две произвольные постоянные  и  , фиксируя которые, находят любое частное решение.
Геометрически решение (2) определяет некоторую линию ( интегральную кривую системы) на плоскости  . Если считать, что аргумент  играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости  .
Тат как в этом случае  определяет вектор скорости, то с механиче­ской точки зрения система (1) означает задание поля скоростей в каж­дый момент времени  , а решение задачи Коши равносильно нахождению траек­тории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимавшей в начальный момент времени  положение  . Плоскость  , на кото­рой рассматривается движение называется Фазовой.
Нормальная система трех уравнений первого порядка имеет вид:
(3)
Все основные понятия и определения, сказанные выше для системы двух уравнений, повторяются и для системы (3) с той лишь разницей, что добавля­ется везде третья функция  , а вместо фазовой плоскости надо рассматривать фазовое пространство  .
Для решения системы дифференциальных уравнений может быть использо­ван обычный метод исключения неизвестных, сводящий систему (1) к одному дифференциальному уравнению от неизвестной функции второго по­рядка, а систему (3) – к дифференциальному уравнению третьего порядка. Если метод исключения применяется к линейной системе, то получается также ли­нейное дифференциальное уравнение, к решению которого можно применять выше рассмотренные методы.
Пример. Решить задачу Коши для линейной системы

Решение. Запишем систему в виде

И, применяя метод исключения, выразим из первого уравнения  через  и  :
После подстановки  во второе уравнение будем иметь ( при  ):

Получили неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэф­фициентами второго порядка. Используя метод решения такого вида уравне­ний, рассмотренный выше, получим его общее решение

А так как  было выражено через  , то вычисляя производную  и подставив  выражение

Получим общее решение данной системы

.
Теперь обратимся к начальным условиям, используя которые, определим постоянные  и  .
Так как  , то при  имеем

И так как  ,  , следовательно,

Получим систему

Таким образом, решением данной задачи Коши являются функции

Пример. Проинтегрировать систему уравнений

Или 
Решение. Из первого уравнения данной системы находим  и подставим его производную  во второе уравнение системы, тогда получим  .
Уравнение  второго порядка неоднородное с постоянными коэф­фициентами. Для решения этого уравнения воспользуемся методом решения для этого вида уравнения, рассмотренным выше.
Общее решение уравнения  будет функция  .
Так как  , то, вычислив производную , подставим ее выражение в это равенство
.
Общее решение системы

.
Пример. Найти общее решение системы
,
Где  - неизвестные функции.
Решение. Исключим  из этих уравнений; для этого из третьего уравнения найдем  .
Продифференцируем полученное равенство по  :  , подставив значения  и  в первое уравнение, найдем из него  , следовательно,  .
Подставив значения  во второе уравнение системы, будем иметь
или  .
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение третьего по­рядка. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Следовательно,  - общее решение уравнения будет
.
Чтобы определить неизвестные функции  и  , найдем  и  из по­следнего равенства:
,
Откуда

.
Общим решением данной системы будет система функций


.
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэф­фициентами применяется также Метод Эйлера.
Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений
(4)
Где  .
Определение. Линейной комбинацией вектор-функций  и  на интервале  называется вектор-функция  .
Теорема. Пусть вектор-функция

Решения на  однородной системы (4). Тогда любая их комбинация  также есть решение на  этой системы.
Рассмотрим на конкретном примере метод Эйлера.
Пример. Решить систему
.
Решение. Искомыми функциями являются функции  .
Составим характеристический многочлен для данной системы
.
Находим корни характеристического уравнения

Составим для  вспомогательную алгебрагическую систему
: 
Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Выразим  через  : и пусть  , тогда  . Тогда вектор-функция  - это первое фундаментальное решение.
Составим вспомогательную алгебрагическую систему для 
: 
Получили систему с бесчисленным множеством решений; выразим  через  :
и пусть  , тогда  .
Тогда вектор-функция  - второе фундамен­тальное решение.
Итак, фундаментальная система решений состоит из двух вектор-функ­ций

.
Следовательно, вся совокупность решений системы есть множество