Nazariy fizika kursi

1.4 
Lorentz  alm ashtirishlari
Yer  sirtidan  10  -  30  kin  balandlikda  kosmik  nurlar  atmosferadagi 
kislorod,  azot  va  boshqa  elementlarning  atom larini  tinim siz  bom bardi- 
m on  qilish  natijasida  zaryadlangan  zarrachalar  va  neytral  тг  -  mezonlar 
hosil  b o ia d i.  Bunday  7r-mezonlardan  bittasinig  Yer  tom on  harakatini 
kuzataylik.  U  bilan  b o g ia n g a n   sanoq  sistem ada  (raketa  sistemasi  yoki 
r-sistem a  deb  ataym iz)  m ezonning  o ‘rtacha  yashash  vaqti  2.55  ■
  10~8.ь\ 
Shu vaqtda u  /i-m ezon va neytrinoga p^rchalanadi.  r-sistem ada m ezon­
ning  tu g ilish   (birinchi  voqea)  vaqtini  va  koordinatasini  m os  ravishda 
t'  =   0,  r '  =   0  deb  qabul  qilamiz.  Uning  parchalanish  (ikkinchi  voqea) 
vaqti  va  koordinatasi  t'  =  
x'  =   0  ga  teng  b o is in . 
Yerdagi  kuza- 
tuvchi  (laboratoriya  sistemasi  yoki  /-sistem a)  uchun  тг-m ezon  qancha 
vaqt  yashaydi  va  qanday  masofani  bosib  o ‘tadi? 
Bunday  savollarni 
istalgan  boshqa  bir  juft  voqea  uchun  berish  mumkin.  Bu  savolga javob 
odd iy  b o i ib   -  m asofa  va  vaqt  intervali  bilan  aniqlanadi.  Lekin,  bun­
day  ja vob   real  masofalar  va  real  vaqtlarda  berilm aganligi  uchun  bizni 
qanoatlantirm aydi,  tajriba  natijalari  bilan  solishtirishning  imkoni  y o ‘q. 
Shuning  uchun  ja v ob   sharoitni  hisobga  olgan  holda  berilishi  kerak.
Birorta  voqeaning  r-sistem adagi  (x 7,  ]/,  z' ,  t')  koordinatasi  va 
vaqti  bilan  shu voqeaning  /-sistem adagi  (x,  y.  z ,  t)  koordinata va vaqti 
orasida  bog ia n ish n i  topish,  y a ’ni  almashtirish  formulalarini  aniqlash 
kerak.  Bunday  almashtirishlarni  aniqlash  ju d a  sod da  b o i ib ,  quyidagi 
to 'rtta   shartga.  asoslanadi:
1.  Fazo  va  vaqtning  xossalari  saqlanishi  uchun  almashtirish  formu­
lalari  chiziqli  b o iis h i  kerak.
2.  Almashtirish  koeffitsiyentlari  qanday  voqea  koiilayotgan ligiga 
b o g iiq   b o im a sligi  kerak.
3.  Almashtirish  koeffitsiyentlari  r-sistem aga  nisbatan  tinch  turgan 
nuqtaning  /-sistem ada  x  o'qining  musbat  y o ‘nalishida  :;raketa” 
tezligiga  teng  b o ig a n   tezlik  bilan  harakatlanishini  ta ’minlashi  ke­
rak.
4.  Almashtirish  intervalning  invariantligini  saqlashi  kerak.
Soddalik  uchun  har  ikkala  sanoq  sistemaning  koordinata  o ‘qlari 
mos  ravishda  bir-biriga  parallel  va  r-sistem a  /-sistem aga  nisbatan  Ox 
o'qining  musbat  yo'nalishida  V   tezlik  bilan  harakatlanayotgan  holni
23

---

ko'rib  chiqamiz.  Yuqoridagi  prinsiplarni  avval  7r-mezonning  parcha­
lanish  jarayoniga  tatbiq  qilamiz.  Bu  holda  7r-mezon  bilan  bog'langan 
sistema  r-sistem a  vazifasini  o'taydi.  Ikki  voqea  orasidagi  intervalning 
kvadrati
c2t2  -   x 2  =   c2t'2  -   x '2  =   c2t'2  =    
(1.19)
Bu  ifodani  sanoq  sistemalarning  nisbiy  tezligi
x   =   V t  
( 1.20)
orqali  qayta  yozamiz:
c 2t 2  - V 2t 2 
=  
c2t'2 
=  
c2t\. 
( 1 .2 1 )
Bu  tengliklardan  I  -  sistem ada  n  -  m ezonning  yashash  vaqtini  topam iz:
t' 
U
bu  yerda  (3  —  V/c.  (1.20)  dan  foydalanib
V t'
x   =   —=
=
x / W
1
(
1
.
22
)
(1.23)
ni  hosil  qilamiz.  (1.22)  -   (1.23)  ifodalar  biz  qidirayotgan  almashtirish- 
larning  xususiy  holini  beradi.
Endi 7r-mezonning tu g1 ilishi  r-sistem aning  koordinata  boshi va  t'  —
0  m om entda  emas,  balki  ixtiyoriy  ( x ',  t')  da  sodir  bo'lsin. 
Bu  hoi 
uchun  (1-22)  -   (1-23)  almashtirish formuialarini yuqoridagi  shartlarning 
birinchisiga  asosan  quyidagi  ko'rinishda  yozish  kerak:
t' 
V t'
t  =   — 
— +   A x ' , 
x   —  —r  
.... 
+   B x ' . 
(1.24)
^/T^r W  
-   p 2
Bu  almashtirishlar  orqali  intervalning  invariantligining  m atem atik  ifo- 
dasi  quyidagi  ko'rinishni  oladi:
/  
t' 
.  Л 2 
(  
V t'
c2  f 
+   A x ' 
-  
+   B x ' 
=   c2t'2
24

---

Yuqoridagi  tenglik  barcha  (x t ’ )  uchun  o ‘rinii  b o ‘lish  shartidan,  bu 
tenglikning  o ;ng  va  chap  tom onlarida  x '2,  t'2  va  x 't 1  ishtirok  etgan 
hadlar  m os  ravishda  bir-biriga  teng  b o iis h i  kerak. 
Bu  shartlardan 
n o m a iu m   koeffitsientlar  A   va  В   ni  topam iz:
A — 
P 
E .
 
1
Bu  ifodalarni  (1.24)  qo'yish  natijasida  qidirilayotgan  almashtirishlarni 
aniqlaymiz:
/   =   1 +   ? Д/ 
.   -   X/  +   V t' 
_   , /  
f1  ОГЛ
v / W
5 ’ 
У
~
У
 
’ 
( 
}
Ushbu  ifodalar  voqealarning  /-sistem adagi  koordinatalarini  r-  sistema­
dagi koordinatalari orqali  aniqlab beradi va Lorenz  almashtirishlari  deb 
ataladi.  Bu  yerda  harakat  x  o :qiga  parallel  b o ig a n lig i  uchun  у  =   y'  va 
z  =   z'  b o iish in i  inobatga  oldik.
Teskari  almashtirish  formulalarini  olish  uchun  (1.25)  da  (t,  x )  —> 
(t\  x ')  va  (V   —»  —V )  almashtirishlarni  bajarish  kifoya  qiladi:
t'  =   —= = =  
x'  =  
—..... 
, 
у'  =   у  , 
z'  =   z. 
(1-26)
V/ T - - л5 
V ^ W 2
Sanoq  sistemalarning  nisbiy  harakat  tezligi 
b o ig a n d a   Lorentz
almashtirishlari  Galiley  almashtirishlariga  o ‘tishini  (1.25)  va  (1.26)  for- 
mulalardan  k o iis h   qiyin  emas.
/-  va  r-  sistemalarning  nisbiy  harakati  ixtiyoriy  y o ‘nalishda  b o ig a n  
hoi  uchun  Lorentz  almashtirishlarini  umumlashtiramiz.  Buning  uchun 
radius-vektorning harakat  va unga  perpendikular b o ig a n  y o ‘nalishlarga 
proeksiyalarini  (гц,  rj_)  kiritamiz.  Radius  vektorning  harakat  y o ‘nali- 
shiga  perpendikular  b o ig a n   tashkil  etuvchisi  bir  sanoq  sistem adan  ik- 
kinchisiga  o ig a n d a   o ‘zgarm aydi. 
Uning  harakat  y oiialish iga  proek- 
siyasi  esa  x   kabi  almashadi:
t ' + V r ' J c 2 
r '  +   V t'
Г|1  ~~~ 7 ^ W ’ 
г ± ~ г ± ' 
^L 2 7 ^
Lorentz  almashtirishlarini keltirib chiqarishning yuqoridagidan  farq 
qiladigan  boshqa  y o ila r i  ham  m avjud.  Masalan,  x O y   tekisligida  o ‘q- 
larni  birorta  в  burchakga  burib  yangi  koordinatalarga  o ‘tish  mumkun.
25

---

Eski  koordinatalardan  yangisiga  o ‘tish  formulalari  m atematika  kurs- 
laridan  m a ’lum. 
Bir  inersial  sanoq  sistemasidan  ikkinchisiga  o ‘tish 
formulalarini  aniqlash  uchun,  tO x   tckisligida  o ‘qlarni  burish  yangi  ko- 
ordinata  sistemasiga  o'tishga  ekvivalent  ekanligidan  foydalaniladi.  Bu 
holda burish burchagi o ‘qlarni  odd iy burishdan farqli  ravishda,  mavhum 
b o ia d i va sanoq sistemalarining nisbiy  tezligiga b o g iiq  b o ia d i.  Bunday 
y o i   bilan  almashtirish  formulalarini  topsak  yana  (1.25)  natijani  olamiz.
G aliley  almashtirishlaridan  farqli  ravishda  Loretnz  almashtirish- 
lari  nokom m utativlik  xossasiga  ega,  y a ’ni  ikkita  ketma-ket  Lorentz  al- 
mashtirishlarining  natijasi  ular  qanday  ketma  -   ketlikda  bajarilishiga 
b o g iiq .  Sanoq  sistemalarining  harakat  tezliklari  parallel  b o ig a n   hoi 
bundan  istisnodir.