Nazariy fizika kursi

Icktrodinamika
33

---

4-vektorning  kvadrati  singari  ikkita  4-vektorning  sakalar  ko'pa}'t- 
masini  aniqlaymiz:
A i Bi  =   A 0 B ()  +   A l B i +   A 2B 2  +   A 3B 3. 
(1.53)
Ikki  vektorning  skalyar  ko'paytm asi  4-skalyar  b o'lib .  Lorentz  almashti- 
rishlariga  nisbatan  invariantdir.  (1.51)  ifodadan  kontravariant  va  ko- 
variant  4-vektorlar  orasida  sodda  bog'lanish  borligini  ko'ram iz. 
Bu 
bog'lanishni  qoida  sifatida  ta’riflanadi:  Fazoviy  indekslarni  ( 1,  2,  3) 
yuqoriga  ko'tarishda  yoki  pastga  tushirishda  4-vektor  kom ponentalari- 
ning  ishorasi  o'zgaradi.  Bunday  amal  0  indeks  bilan  b og 'liq   bo'lgan d a 
vektor  kom ponentasining  ishorasi  o'zgarm aydi.
Kovariant  vektorlar  uchun  Lorentz  almashtirishlarini  quyida  kelti­
ramiz:
Д1
  __  V   л1 
л
 / 
V   л
 /
=  
•4 з = - 1-  
(1-541
Tenzor  tushunchasini  kiritishda  kovariant  va  kontravariant  vektor 
komponentalarini  almashtirish  qonunlari  asos  qilib  olinadi.  T o'rt  o i -  
chovli  fazoda  T 1J  ko'rinishda  berilgan  16  ta  kattaliklar  koordinatalar 
sistemasi  almashtirilganda  ikkita  kontravariant  4-vektor  kom ponenta- 
larining  ko'paytm asi  singari  almashtirilsa,  bu  kattaliklar  to'plam i  2- 
rangli  kontravariant  4-tenzor  deyiladi,  kattaliklarning  o'zi  esa  uning 
koinponentalari  deb  ataladi.  Kovariant 
T
l3 
va  aralash 
T lj
 
4-tenzorlarga 
kontravariant  4-tenzor  kabi  ta ’rif  beriladi.  Aralash  tenzorlarda 
T lj
 
va 
TiJ  larni  bir-biridan  farqlash  lozim.  Indekslarni  yuqoriga  ko'tarishda 
yoki  pastga  tushirishda  vektorlar  uchun  ta ’riflangan  qoida  bu  yerda 
ham  o'rinlidir.  Masalan:
Л
00
  =   Лоо, 
Л
01
  = - ,
4
oi, 
Л
12
  =   Л 1 2 , . . . ,
Л ° о   =   Aqo, 
A
0 i  =  
- Л 01, 
А
2з  =   -
A23
,  • • •,
Tenzor  ta ’rifiga  ko'ra  1-rangli  tenzor  -  vektor,  0-rangli  tenzor  esa 
skalyar  kattalikdir.  Yuqori  rangli  tenzorlarning  ta’rifi  2-rangli  tenzor­
ning  ta’rifiga  o'xshaydi.
Tenzor  indekslarining  o'rinlarini  almashtirish  natijasida  vana  ten­
zor  hosil  bo'ladi.  Indekslaridan  ixtiyoriy  ikkitasining  o'rnini  almashti­
rish natijasida mos kom ponentalarining son qiym ati va ishoralari  o'zgar- 
maydigan  tenzor  shu  ikki  indeksga  nisbatan  simmetrik  deyiladi.  Masa­
lan  3-rangrli  tenzor  uchun  T ljk  =   T lkj  bo'lsa.  u  (j,  k)  indekslarga
34

---

nisbatan  simmetrikdir. 
2-rangli  tenzor  sim m etrik  b o ‘lsa,  T lJ  =   T J1 
shart  o ‘rinli  b o ‘ladi.  Ikkinchi  rangli  sim m etrik  4-tenzorning  mustaqil 
kom ponentalarining  soni  o !nta  b o ‘ladi.
Indekslaridan  ixtiyoriy  ikkitasining  o :rnini  almashtirish  natijasida 
mos  kom ponentalarining  son  qiym ati  o ‘zgarm asdan,  faqat  ishoralari 
teskariga  o ;zgarsa,  tenzor  shu  ikki  indeksga  nisbatan  antisimmetrik 
deyiladi.  Masalan  3-ranrli  tenzor  uchun  T li k  =   — Т 'кз  b o ‘lsa.  u  (j.  k) 
iudekslarga  nisbatan  antisimmetrikdir.  2-rangli  tenzor  antisimmetrik 
b o ‘lsa,  Т гз  —  — T 3%  shart  o !rinli  b o ‘ladi.  Bunday  tenzorning  diagonal 
elementlari  nolga  teng  b o ‘ladi.  Shuning  uchun  mustaqil  kom ponent ala­
rming  soni  oltitadir.
Simmetrik  yoki  antisimmetrik  b o ‘lm agan  tenzor  asimmetrik  deyi­
ladi.  Lekin  ikkinchi  rangli  har  qanday  tenzordan  sim m etrik  va  antisim­
metrik  tenzor  hosil  qilish  mumkin.  Haqiqatan  ham  berilgan  ixtiyoriy 
Tzj
 
tenzordan  yangi  terr/or  tuzamiz:
Bu  tenzor  indekslarining  о :m ini  almashtirishga  nisbatan  simmetrikdir. 
Endi  o ‘sha  Tij  tenzordan  yana  boshqa  tenzor  tuzaylik:
Bu  tenzor  esa  indekslarining  o ‘rnini  almashtirishga  nisbatan  antisim- 
tnetrikdir.  (1.55)  va  (1.56)  ifodalardan  quyidagini  hosil  qilamiz:
Demak,  ikkinchi  rangli har qanday  tenzorni  sim m etrik va  antisimmetrik 
qismlarga  ajratish  mumkin  ekan.
Tenzorlarning  simmetriya  xossasi  invariantlik  xususiyatiga  ega:  bi­
ror koordinatalar sistemasida tenzor sim m etrik yoki  antisimmetrik  b o :l- 
sa,  u  bunday  xossasini  har  qanday  sistemada  saqlab  qoladi.