Nazariy fizika kursi

4-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
1. 
a) Potensial U(x) = x2e' ni uning minimumi x = 0 atrofida qatorga 
yoyaylik:
U - x2 + x
3
+ — x
4
+ • • ■
Lagranj funksiyasi: L = ^ 2x2 -^
2
x‘ + x
3
+ • • • . Chastota: co = ^- = l.
b) U = U
t 
*\2 f 2 
[Г
— , 
со = J —.
2k
\ 
m
x - L  
\
 
k
с) Potensialning minimumlari
286

---

а
aV 
vu> /
nuqtalarda joylashgan. Shu nuqtalarning ixtiyoriy biri atrofida potensial 
qatorga yoyilsa kvadratik had
' Va V  
•> ,
2 
V 
a V 2
f- , 
\
2 
(JC-Xq)
ko‘rinishga ega boiadi. Demak, со
1
—
r 
(x-e) 
1
d) U(x) = —  = co = —j=■
lruc 
2e 
\le
2. Sistemaning Lagranj funksiyasi:
L
= —
ф1 - mgR
(1 - cos 
(p
)
2Rs\n —
Muvozanat nuqtasi: % = 
2
arcsin
/ 
i 
Y
e"
8
m,oR2
1/3
Shu nuqta atrofida potensialni qatorga yoyib, kvadratik hadning o‘zini 
qoldirainiz:
mR- ., 
1
L = ---- (p~ —
3 
m q R
2
2
Chastota:
/
/
1
—
( 
" ^ 
e~
2/3 ^
1
V
^SmgR2 ^
J
(-%)- + ■
со = ■
R
V
%mgR~
V 
4 
/
2
^ о-n
2
1
iс
Aibatta, e < EmgR bo‘lishi kerak, aks holda muvozanat barqaror 
boimaydi.
3. 
Massaning kinetik energiyasi 
T = - т а ф 
. Potensialenergiyani topish 
uchun prujinaga ta’sir qilayotgan kuch / ’ni prujina uzunligining o‘zgarishi

---

Д/ ga ko‘paytiramiz. Д/ ni cosinuslar teoremasidan topish m um kin:
l~,
" 
3
 
/ 
ч 
a(a-hl)
, 
Al
 = 
yja~ + (a
 + /) - 2л (a + /)cos
q>
(ct + l)F
mcil
F 
F
4. a) * ( 0 = — V 0 " " coseor) ; 
b) * ( / ) = — ^r(co?-sinfi)r); 
m(0~ 
mco
, , 
Fn сое a! - со cos (ot + a sin cot
c) 
x(t) = -
0
mco
2 
2 
(0 +a
, 
s
Fn (osinaf-asinftw
d) x(,) = ~ ---- 5-- j--- :
mco 
co -a
'(•)-
mco
e)
(a
2
+ j32) +2^a2 - p 2^co2 + co4
[a * 
w [2a[i cos [it
- ( a : - 
/32 + a
Г )sin
P i
J + 
p [-2 a co c o sa > t +
^ a 2 
+ p~ - о У
^sin
r(0
= -
0
( a
2
+ 
p
2)" + 
2
( a 2 - /32
)ft
>2
+ 
co4
j
~ coe 
j ^ « " -
P 
+ 
(O'
j c o s
(it
- 2aP sin Pt]+ a ( a : + p~ -co2 ^sin cot - o ^ a 2 - p 1 +co ^
COS (Ot
\ 
at 
14
/ 
\
5 . a ) x ( t ) = --- sin ct>?; 
b) ---- -(sm2 mco 
2 mco"
c) *(') =
a (A + w)sin(ur-wsin(a> + A )f
m(0
д(Д + 2«)
a) 
va b) yechimlar vaqt o‘tishi bilan cheklanmagan holda o‘suvchi 
bo‘lib ularni kichik tebranishlar sohasida qo'llanib bo‘lmaydi. c) holda 
A chekli son bo'lganda muammo yo'q, Д —> 0 holda yana b) holga 
kelinadi.
6
. a) (4.32) formuladagi integral t <7’holda:
288

---

f
— -—
(со/
-sin 
(or) 
m&'T
Endi t >T dagi yechimni topaylik. Yuqoridagi integral t >T da 
(integrallash yuqori chegarasi T bo'lganda) 
p
-- 2— (Yet) cos ft) (? — 
T) +
sin 
a)(t — T)-
sin 
cot
)
mco T
ga tengdir. Undan tashqari, kuch F
0
bo‘lganda t >T hoida integral 
(l - cos со (/ - T))
mar
ga teng. Shularning hammasini yig’ib t >T dagi yechimni
f
t\
cos 
со (i - T
) + 
c2
sina>(f -Г)+ -
mco
ko‘rinishda qidirish kerakligiga kelinadi. x va uning hosilasi x ning t —T 
nuqtada uzliksizligidan cr c2 doimiylarni topiladi:
c, = -- sinft>7\ c
2
= —
(l -cosfor).
mco~ T 
” 
mco~ T
Demak, t > T da
sin «(r- 7 ’)-sina«'
air
j 
2
2 
2F
0
, coT 
Tebranish amplitudasi: «- V еi 
+ c 2
= — r ™ — ■
mco' I 
I
J?
b) t  bo‘lganda: •* = —\(l-cosfttf);
mco"
t>T bo‘lganda:
F 
2 F 
rnT
x = —
(cos a>(T -t)~ coscot) = — у sin-- sin a>(T/2-t).
mCO 
m(0~ 
2
p
c)
t < T  
bolganda: x 
= — ^j(cot- s in cot);
mco'
t > T bo'lganda:
x
= —
\-{сйТ
cosco(T -t)~ sin cot-sin co(T-t)) = 
mcoT
mco~
19 — N a7ariy m exanika
289

---

F,
mar T
^ — [(fttf’ cos 
coT
- sin <07) cos 
at + (coT
sin 
coT + cos
l)sino>fJ.
Tebranish amplitudasi: a = 
Ja>2T2 
+2(l-cos6u7)-2sin 
coT.
f
d) 
t < T  
bo‘lganda: 
x 
=
— —г (sin cot-cot cos cot);
2 mco
t > T
bo‘lganda: 
x 
■
k
F,о
2
/nftT
cos 
at.
7. (4.49) formulaning birinchi qatoridagi ifodani
F(t) 
m 
m 
2
dan foydalanib hisoblash qulaydir:
(ReC
2
(r) + ImC
2
(r))-
£ ( ') "
■
 F{t)
mco
F~(‘)
2 та)"
/ ( ” )
mco
Fa 
X1 
. 
.
a co co sa
--------- ----- T + ;flft)sin 
a
2mco a>~ + A"
va
F
(- » )
mco
i i 
= a~a>~
.
Natijada
AE
= 
E
(°°)- 
E
(—°°) = -
F
IF ,:
aX F,, cos a
2mco~
2 
l 2 + « 2
8
. a) Minimum: a
0
= 
1
, v
0
= -
1
. Chastotalar: cof = cof = 
6
; 
b) Minimum: x = 
1
, v = 
1
. Chastotalar: щ = co2 = 
1
.
9. a) Normal chastotalar: ц = Тб, щ -  
1
; Normal koordinatlar:
x
-Q
i
+Q2, у - - — Q\
+ Q2 ■
5 - i
15 
9
5 - i
5 -> 
Lagranj funksiyasi: L = ~Q\ ~~rQ\ + ~Q:i ~ ~~Q'i■
8
4 
2 
^
290

---

b) N orm al chastotalar: 
(0[22
= 
, 1
+a>02)
, 
„ 2
-±\ -------—+ e r
.
Normal koordinatlar: A’i - 
61
+ C?
2
> 
*2
- ^
Q\+ 2 
-> Qi-
а
Щ
2
- Щ
10
. Kinetik energiya:
т 
m ! -
 2 
-1 
-2 
\
M ( 
. 2
 
.2 
• 
2 
\
T - ~
( x l + ' C3 + " - + х 2 Л '- | ) + —
[ x 2 + x 4 + ' " + x 2 ; v j -
Potensial energiy:
5
'
Harakat tenglamalari:
ntxi л-1 + 
k
(2.г2я_, 
-
X 2n 
- x2n_2 
) 
= 0, M x2n 
+ 
к 
(2 x 2n - x2ll+l - x2n_, 
)
= 
0. 
Chegaraviy shartlar: x
0
= 
x2N+]
= 
0
.
Yechimni turg‘un to‘lqinlar x.,n^ = Ae'{0),±
= Be,{0>,±1,up)
ko‘rinishda qidiramiz. Bu holda chastota uchun tenglama quyidagicha 
bo'Iadi:
U = \  ( x l2 + i x l -
x2
f +
(x2
- X 3 ) 2 + • ■
• + ( x
2
,v - i - X
2
N f + X N  ) •
к
щ:2 = -
1±Jl- — siap
mM
V
= ---
77-
m + M
col chastota ba’zi bir hollarda «optik chastota», a>2 esa «akustik chastota» 
deyiladi (ko'rilayotgan sistema ba’zi bir hollarda qattiq jismning sodda- 
lashtirilgan modellaridan biri bo'lib xizmat qiladi). Chegaraviy shartlarning 
birinchisini qanoatlantirish uchun yuqoridagi turg'un to‘lqinlarning quyidagi 
kombinatsiyasi olinishi kerak:
x
2
„-i = Ak
sin((2n-l)
x2n
= 
Bk
sin 
(2n(pk
)cos 
(cokt 
+ 
a k
), 
kn
bunda 

2
n + [ ~
ikkinchi chegaraviy shartdan olinadi.
11. Sistemaning Lagranj funksiyasi:
L =™(Xt +Х1)-\(Х1 +Xl)-^-(Xl X2 f ■
291

---

Harakat tenglamalari:
mX] + (k + kt
).v ,
- k lx2 =
0- 
mx2+(k + kl )x2 - k lxl
= 0.
2 _
k + 2kx
a)
--sin О), / H--- sin 
(
0,1
CO. 
ft).
» I . 
1
.
A , = — ---S ill (O ^ t-----
sin 
2 
I ft),
b) .V, = — (COSOO|/ + COSCIV), 
x2
= — (cosffl^-cosov).
c) B irinch i zarrachadan ikkinchisiga a'/’ vaqt ichida berilgan energiya
x.) kuchning shu vaqt ichida bajargan ishiga teng:
dE - Fdx2 = kx 
(x[ - 
x2 )dx2 =
(aj - 
x2)x2 dl.
Demak,
dE 
k,v~ 
, 
s
a) — = ----s m f t V ^ c o s o y - c o s a ij f J;
dt 
2 co2
dE 
k,a~ 
, 
s.
b) — = --- cos(ti,i й, sin 
co^t — со,
sin сам .
d:
2
Ko'rinib turibdiki, energiya oqimi vaqt o'tishi bilan ishorasini davriy ravishda 
o'zgartirib turadi — energiya goh birinchi zarrachadan ikkinchishiga, goh 
teskari oqadi.
12. a) Sistemaning Lagranj funksiyasi:
L = -{K\
lh ~л
2
‘/;')
/ 2
2
, 
.2
\
£i_ ±-_ + (t?i
С с, 
с
Agar quyidagi bclgilashlar kiritilsa:
л, £>, = 
.r,. V A ; (/, 
= 
.c2 , 
ад;, = •
i 
i 
1 
n2
= — — + - 
Л , С, 
С
, 
a =
с^[л~л
2
9-masalaning b) qismidagi Lagranj funksiyasini olgan b o la m iz .
292

---

1. Birinchi tartibli tuzatraa uchun tenglama:
&xt 
9
дц>" 
Щ
5-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
l 
^ 
\
a~ 3(2
+ * = — (A,sinv^ + av/'i cosi//) + — + -— cos
2
i//.
Dem ak, A, 
-0, ц/] =
0
.
a 2 y
a 2 y
Yechish: 
x
= 
acos(aty + 
--- — 
cos(
2
tity + 
2
Chastotaga birinchi tartibli tuzatm a yo‘q ekan.
2. Birinchi tuzatma uchun tenglama:
a
2
.v,
3i
//2
+ 
x,
2
Д — и +
siny/ + 
2
ai//, cost// 4- 
sin3y/.
4
Demak. 2 A - я + — = 0, i/л = 
0
.
4
fkkinchi tuzatma uchun tenglama:
Э
2
л-,
с
-- ~ + 
x2 -
ду/
dA
2aw, — A -—~ + 
1
1
--ci1 IA +
da [
4 
128
cost// +
X
/
T 
, 4
\
a
Vя " 
) 
5a
5
+2A-,
sini// +--------cos3
ш л
----cos5i//.
* 
128 
128
Asriy hadlarning paydo bo'lm aslik sharti:
A2
= 0, 
у/2
= •
A
dA
L 
da
3 
a
2
\
a
256'
Yechim:
ea
. „ 
e a'
jt = л cosy/’ ---- sin 
ж
-----
32 
1024
^ a
2
cos5y/ + (a
2
+ 8)cos3y/
bunda
293

---

2
Cl = •
1 
+
£
£
l £
?
w = t -- 1-- In 
ci
■
+
-—
а
+ <№
,•
16 
8
64
£Cl
3 
x ~ a cosy
---- j(sin3i/^ + cos3y/);
32 
(O
q
2 Et
In
a0
= a(
0
), 
у/ = co0t-
3
-1
+ -
4%
*>
Cli\
'40
1 
+ ln-