Nazariy fizika kursi

1-rasm. 6-bobdagi 6-masaiaga oid
, 
„ 
2vHQ . л
7. 2-a rasmdan ko‘rinib turibdiki, h 
- 
s,n0-
g
8
. 2-b rasmdagi belgilashlardan foydalaniladi. Kichik silindming kinetik 
energiyasi ikki qismdan iborat - o‘z o'qi atrofida aylanish energiyasi va 
katta silindrning ichida yumalash energiyasi:
T = ]
/,0 2 + 1 
m ( R - a ) 2 S 2.
2 3 
2 v 
’
Bu yerda (
R - a )5
= v 
kichik silindr markazining harakat tezligi, 
/■, = 
т а 212 
. Sirpanishsiz harakat uchun 
ав = (R -a)S.
Demak,
Г = ~ m ( R ~ a f 8 2.
Silindrchaning potensial energiyasi: £/= (R-«)m<<(l-cos<5). Lagranj 
funksiyasi:
L
= 
—m ( R — а)"
<5 2 - (
R - a ) m g
(1 - cos5).
4
296

---

K ichik tebranishlar haqida gapirish uchun 
c o s <5
~ i — <52/2 deb olinadi:
Tebranish chastotasi:;• C0-
3 
(R - a ) 
F—2imLlsine
a)
2-rasm.
6
-bobdagi (7)- va (
8
)-masalalarga oid
7-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
l
a ) H = ~
In.r; 
b)H = — -
\ P?+-
2m L J
2 M
Ъ
P
V “ 
J
1
 
о 
1
 
2
 
I t
c) H = — xp~ +-— Px -x\ 
d ) H
 = -- 
x p /
+ 
xpr р г
4 
4x
' 
4
e)H = ^ Px2 +
Л 2 + 
УРх
- 
xPy
+
1
( * 2 + 3'2);
f ) H =
— — m
cos в.
2 
m
 
2
2. 
p = m(r + [£2r]), 
H 
= 
^mp2 - £2 • [rp] 
+ 
t/(r). 
Agar burchak tezlik
nolga teng bolgandagi G am ilton funksiyasini tf
0
deb belgilansa va impuls 
m om entining ta’rifini eslansa 
H = H 0
- M • □ bo‘ladi.

---

4
If pi , (/у - /у cose
)2
; pi
2
/, 
2
/,s in 2e 
2/3
5. S ilin d rik sistemada: ^ = 
2m
2 P
2 
Pr + ,
+ t/ (r,
1
2
w
''"sin о
+ U(r,0,
6
. 
C h ek siz kichik siljish: 
ru ->ra> =r„ 
+ 
e;p'a = p a.
ciH
Я(гй,ра)= //(r’u,p’u) 
shart —
r=o ek an lig in i b ildiradi. D e m a k ,
Эг„
k a n o n ik tenglam alar b o ’yicha 
ЭЯ
P =
I- - I
Эг„
() => P = const.
7. C h ek siz kichik
Sep burch ak k a bu rilgand a
r'a = r„ + 
Sra, 
p;,=pe+ 5p„; Sra = [<5
, 
5Pe = [<5
b o ‘ladi,
ЭH „ 
dH _
— 5re+ — 5pfl
дга 
Эр,
= L (- P a5ra +ra5pa) =
: 
X (“P„ 
■
[йфга ] + V [&ppa ]) = Stp 
• — 
£
[r„p„ 
] = 
0.
<5
const.
0 
, 
O r2 
r 2 :sin 6 в 2
8
. L = -- +------
?
9
/ 
\
1 
, ? 
1 M , 2 
( М . - М . С О 5 0 Г
9. /?(0,6»,M.,M3) = : - - / ,6I2 + - - — + 
' 
3 
'
^ 
2
/т
sin
9
,
1
^ -siklik, 
py
= 
М ., pv = M 3.
298

---

а ) 
[ м
. , 
Г]
} = 
£ljkrk: b)
{b • M ,a • r} = 
b,at
{ М , , r,} = 
£ijkbia jrk 
=
J0
= И аг];
с) 
{b ■
M ,c -M} = с ■
[bM]; 
d)
0;
e){p,(a r )‘ } = ^ - ( a r ) 2 = 2 a ( a r ) ;
f) { r ,,
M 2} = 
2Mj
{/;
,M j} =
2
[M r],; 
g ) {p,, M
2} = 
2
[pM],; 
h)
0
; 
i)
0
.
p 2 
(X
11. Berilgan maydonda H = ---- . M = {#,M} ni topish kerak.
2m 
r
Komponentalar bo‘yicha hisoblaylik:
M j = { H , M j }
 = 
£,jk { н
, r, 
p
k} = 
e,jk { H
, /■,} 
p k + £,lk rj { H , p k } = 
дН 
дН 
1 
a
= % ^  
= »•
n" (x
12. Kulon (Nynton) maydonida Я = ---- . Vazifamiz A = {H, Aj
2m 
r
ni 
hisoblash. 
Komponentalar 
bo‘yicha 
hisoblaylik: 
Д,. = {//, Л,} = {Я ,[rM],}-« |Я Д j = eiJk {н,г;Мк}-а 
Quyidagi hadni hisoblaylik:
о =“ {«■'.} =
Demak,
: 
a
a
« / 
\
«
Д,- = --- - 
£,jk rj M k
---
p ,+
— T (r ■
p ) 
r-j
= 0,
mr 
mr 
mr~
chunki
£ ijkrj M k = £ 4krj eklmrePm = { S n S Jm- S ,m8 jl )rj rep m = г: (г р ) ~ р,Г 2.
299

---

13. 
Р
dF~, 
р
л 
dFn
т 
р
„ , 
п
„
—~ 
= 2qe
; Q = —^
=> Р = In — ; Q
dq 
dP 
2 q
pq
' . - У * * . -
'dp
dF4
3Q
20 
dF. 
p ~
r)F,
Yechish kerak: — = - ——; In — = - —
P 
dp 
4 Q 
d Q
Yechish: 
Fi {p,Q)=-2Q\np + 
c{Q)\ 
-2\np +
— — = - in —
dQ 
AQ
•c(e)=G(in4j2-i)=>F
4
(P,e)=G
14. 
P = ep, Q
= 
qe
15. 
H
(P - m g tf
2m
16. Almashtirish t'ormulaiari:
3/,-
Ko‘rsatish qiyin emaski: 
ЭЯ'
G,
I
L- ^
a? . 
I 
dp j
эя _ '
Эе/, 
Э с /;
з/
17. Ko'rinib turibdiki, Р ~р + ~^' ^ ~ q' Yangi Garnilton funksiyasi
H '= P Q - L '= p q - L - ~ = H - — = H
+
■
— ^ .
Э/ 
dt 
dt
Demak, yangi o'zgaruvchilarda ham tenglamalar kanonik bo'lib 
chiqadi.
18. 
F2{q,P) = q P - f{ q ,t).
300

---

8-bobga oid masalalarning javoblari va yechimlari
1. 
0 ‘qlarni rasmda ko‘rsatilganidek tanlaymiz. Burchak tezlik 
£
2
={
0
,
0
,cy}. (x, v) koordinatali suyuqlik nuqtasining tezligi:
vx = -coy, i\ = cox, v. = 
0
. Undan tashqari p = const. Bu hoi uchun 
Eyler tenglamalari:
d p
i 
1
bp 
i 
1
dp
c o 'x = —
- ,
CO~ y =
-----
p d x
p dy
0
= - g
----- - 
.
p
d z
Demak, dp = роз1 (xdx + ydy)-pgdz, 
yoki, p = -роз2 (x
2
+ y2)J-pgz + C.
Suyuqlik sirtida p -  0, demak, -pco2(x2 + y2)J-pgz + C = 0.
Bu - aylanma paraboloid tenglamasi. Shu sirtning markazida
-pgh'+C = 0. Demak, p = ^роз2 (x2 + y2^)+pg(h'-z).
h' ni suyuqlikning hajmi o‘zgarmasligi shartidan topiladi:
In 
cl
ncfh
ы2г2
dr r z = 2к I dr r l--- V h'
J" 
dr r z = 2
k
J* i
2
.?
: ка
h 
4
- -
0 ( 1
(1
•
Shu bilan bosim uchun ifoda to'liq aniqlandi:
1 
i 
i
т 
, 
, 
Cl 0 3 - p
P - - P 0 3 (x-
+ >■- 
) + p g ( h - z . )
------- -—
.
2. 
z
o‘qini yuqoridan pastga qaratamiz. Bernulli integrali:
£ l + lv - - g := *L + i V\ 
p
2 
p
2
p 0 
— tashqi atmosfera bosimi, 
z 
~ suyuqlik sirtining boshlang’ich 
balandligi. Uzliksizlik tenglamasi: 
sv 
= sv.
Natija:
j
2
=
. Agar s/s «; l bo'lsa v2 = 2gz deb olish mumkin. 
301

---

3. Uzliksizlik tenglamasi 
SV
= 
sv ,
tezlik uchun aw algi masalada olingan 
tenglama 
u2 = 2gy
va 
5
= 
Лх2
larni birlashtiramiz: 
k x
2V
= 
ф
8У .
Demak,
к V
Bunday tenglama bilan aniqlanadigan chiziq klepsidra deyiladi.
4. Bu holda Eyler tenglamasi:
V,>
0 = — - + g. 
p
U ning faqat radial kom ponentasi qoladi, sham ing ichida:
dp
 
s 
G An
, 
AnGp
"Г = -- —
P = --- —
dr 
у
3 
3
Л radiusli shar uchun:
Гф 
! 
A
k
G
p(R)-p{
 0) = I — dr = ---- p/T.
J Л- 
2 3
I)
Ravshanki, 
p (R ) =
0
. S ham ing sirtidagi tortish kuchi tczlanishini 
gR 
deb olib sham ing markazidagi bosim uchun quyidagi form ula olinadi.
/,(o) =

---

Vektor algebra
Vektorlar ustida amallarni bajarishning bir necha yo‘llari bor. Shular 
ichida analitik metod o‘zining umumiyligi va soddaligi bilan ajralib turadi. 
Mana shu metodni o'rganaylik. Biz faqat uch o'lchamli vektorlar bilangina 
shug‘ullanamiz.
Skalar ko‘paytma tushunchasidan boshlaymiz. Ikki vektorning skalar 
ko'paytmasi quyidagicha aniqlangan:
3
А В = Ал В . + 
/1
В + A B  = А В, + A2B2 + A}BJ = ^.4 , Bt. (A. 14)
i=i
Vektorning x, y.z, komponentalarini 1,2,3 deb belgilash qulaydir. 
Skalar ko'paytma natijasida skalar kattalik paydo bladi. Quyidagicha qoida 
kiritaylik (Einstein qoidasi): ikki marta uchragan indeks bo‘yicha yig‘indi 
ko‘zda tutiladi. Bu holda yuqoridagi formulani yig‘indi belgisiz yozishimiz 
mumkin:
А В = А Д . 
(A. 15)
Bunday indekslarni soqov indekslar deytniz. Qoida kiritilishining sababi — 
formulalarning yozilishini soddalashtirish. Masalan, to‘rtta vektorning skalar 
ko'paytmalarining ko'paytmasi:
( A B ) ( C D ) = AjBjC jD J. 
(A. 16)
Agar soqov indeks tushunchasidan foydalanmasak o'ng tomonda ikkita yig'indi 
belgisini yozishimiz kerak bo'lgan bo'lar edi — biri / bo'yicha, ikkinchisa j  
bo'yicha (ikkalasi 1 dan 3 gacha). Soqov indekslarni bir-biridan farq qilish 
kerak — agar ifodada bir-necha soqov indeks ishtirok etsa uiarning har biri 
o'z harfl bilan belgilanishi kerak. Ozod indeks tushunchasini ham kiritaylik
(Л),. = Д. 
(A. 17)
Biz bu belgilash bilan chap tomondagi vektorning /-nchi komponentasi A. 
ekanligini ko'rsatmoqchimiz.
Masalan, A vektori В ■
С skalar ko'paytmaga ko'paytirilgan bo'lsin.
303

---

Hosil bo'lgan vektorning /-nchi komponentasi nimaga teng? Javob:
(A (B • C)). = A S ;C;.. 
(A. 18)
Endi Kronekker simvolini kiritaylik:
[l 
agar i = j  bo'lsa,
°ij = ln
■
* к 
(A-!9)
[0
agar i--£ j  bo Isa.
Bu simvolni ikki vektorning skalar ko‘paytmasining ta’rifida ishlatishimiz 
mumkin:
A B = A,B,= 8IJAiB}. 
(A.20)
0 ‘ng tomonda ikkita soqov indeks bo'yicha yig‘indi ketayapti. Oxirgi 
formula
A = 
S ijA j
(A.
2 1
)
ga asoslangandir (/'bo'yicha yig‘indida faqatgina bitta had qoladi - j  = i 
bo'lgan had).
Birlik antisimmetrik tcnzor tushunchasini kiritaylik:
1 
agar 
ijk =
123.231,312 ketrna - ketliklarni xosil qilsa.
0
a g a r / Д laming birorikkitasi teng bo’lsa. 
22
)
-1
qolgan hollarda
Ya’ni, e12J = £,„ = 
£ 312
= 1,
e
2
i
3
= 
e 42
 = £ m = 
> £i
2
? = £ ii
3
= езз
2
= ■
• • = 0- Ta’rifdan ko‘rinib 
turibdiki, ushbu tenzorning indekslari o'rnini siklik ravishda almashtirishimiz 
mumkin:
£ijt= £ jki= £ kir  
(A.23)
Birlik antisimmetrik tenzor o‘zining indekslari bo‘yicha antisimmetrikdir:
£,Jk = ~ Ч г -  
(A-24)
Natijada uning ixtiyoriy ikki indeksi bir-biriga teng bo‘lib qolsa u nolga 
teng bladi: £,4 = £ 4J = £ ikl- 0 va h.k. Bu uch undeksli kattalik
(psevdo)tenzorni xosil qiladi. Shu tenzor yordamida ikki vektorning vektor 
ko‘paytmasini quyidagicha ta’riflashimiz mumkin: