Nazariy fizika kursi

X = 2n + l 
bo‘lganida (4.50) rekurrent formula 
yordamida hisoblab topiladi. /„(£) polinomlari Chebishev-Ermit 
polinomlari deb ataladi va #,,(£) orqali belgilanadi, ularni quyidagi 
soddaroq ko‘rinishda ifodalash mumkin:
) = (-') 
- J^(e 4 ) , 
(4.56)
ular quyidagi differensiyal tenglamani qanoatlantiradi:
d2H„ . „ dH.
2£ —-f- + 2nH =0.
d f 1 
b d f  
” 
(4.57)
Bu tenglamani (4.53) ni hisobga olgan holda (4.46) tenglamadan keltirib 
chiqarish mumkin. Chebishev-Ermit polinomlaming bir necha dastlabki 
polinomlarini hosil qilamiz:
Я 0( / ) = 1, H,(f) = 2f, H 2(f) = 4 /2 -2,
Я 3( / )
= 8 /3-12/, 
Я Д / )
= 16/4-48(4-58)
Chiziqli ostsillyatoming xususiy funksiyalari quyidagi muhim 
xossaga egadir, ular -°° dan +=*= gacha boigan oraliqda ortogonaldir, 
ya’ni m Ф n boiganida
r 
(4.59)
126

---

shart bajariladi. Agarda m=n bo‘lsa, u holda jV ‘»(x)cfo 
chekli
qiymatga ega bo‘lib, bu natijadan normallovchi A„ ko‘paytuvchini 
hisoblash uchun foydalanish mumkin. Normallash sharti quyidagidan 
iborat:
г , 
(4-60>
f p „(x)dx = 1.
— oc
Bu ifodaga funksiyaning (4.55) qiymatini qo‘yib,
e~*'
та)
tenglik hosil qilinadi. Integral ostidagi Ermit polinomlarining bittasini 
o‘miga (4.56) ifodani qo‘yib, oxirgi tenglik quyidagicha yoziladi,
mat
Bu integralni n marotada bo‘laklab integrallansa,
m(o f
dg
natija hosil qilinadi. Ermit polinomlari uchun
- - - Н Я ) = 2"п\ 
d£"
va
c2-‘- 
В
tengliklami e’tiborga olinsa, normallovchi ko‘paytuvchi uchun quyidagi 
ifoda hosil qilinadi:
\ma> L L
(4-61)
A = 4 
” ЦПл^2"п\
Shunday qilib, chiziqli garmonik ostsillyator uchun to‘Iqin funksiyaning 
ko‘rinishi
p 
mco 
1 
„ 
(4.62)
VMc>-; . 
0„ 
//„(c) 
пк
2
n\
127

---

bo‘ladi. Kichik kvant sonlar sohasida, masalan n = 0, 1, 2 qiymatlariga 
mos energiyaning 
xususiy qiymatlari va xususiy funksiyalari 
quyidagicha bo‘ladi:
2
2'
E0=^he>, 
^ 0 = 4 ,e x p ^ ~ /2j,
Ex=^Ha>, 
ft, = Л,2^ехр^-^/2|, 
Е2=^П
ш
, 
ft2 = 4 ,(4 /2-2)exp|-^/2 
Keltirilgan qiymatlar 9-rasmda tasvirlangan.
9-rasm. и=0,1, 2 qiymatlarda garmonik ostsilyatorning toiqin funksiyalari 
ko‘rinishi (a) va E„ kvant sathlarning diagrammalari (b).
(4.62) formuladan nolinchi holatni batafsil tekshirib chiqaylik, uning 
xususiy funksiyasi
УЛ,(О- 
1
/ x 2 4
2x0 
V 
У
ga teng boiadi va unga mos ehtimollik zichiligi esa
1
ь --- exP
X. 
к
x:
V 
0 7
ko‘rinishda boiadi. ф 0(х)\ ni tasvirlovchi egri chiziq Gauss xatoliklar 
egri chizigl tipidadir va bu ehtimollik 10-rasmda tasvirlangan.
128

---

10-rasm. Garmonik 
ostsilyatorning E
0
 - eng 
kichik energiyali holatidagi 
klassik va kvant 
ehtimolliklari.
Шkl
в
Olingan 
egri 
chiziqning 
ko'rsatishicha, 
ostsillyatoming 
nolinchi 
holatida 
zarracha 
vaziyatini ko‘p marta aniqla- 
ganimizda, uni har doim ko‘proq 
muvozanat 
vaziyati 
(x=0) 
atrofida topiladi. Bu holatning 
xususiyati 
shundan 
iboratki, 
ostsillyatoming energiyasi nolga
teng boimay, balki E0= —hco
teng boimay, balki E0 =
teng boiishidadir. Shunga muvo- 
fiq ravishda, kvant ostsillyator 
absolut nolda tinch turmaydi.
Klassik ostsillyator esa, klassik fizika va Bor nazariyasiga binoan 
potensial o‘ra tubida nolga teng energiya bilan harakatsiz holda boiadi. 
Ammo kvant nazariyasida, Geyzenberg noaniqlik prinsipiga ko‘ra, 
zarrachaning koordinatasi va impulsini, klassik ostsillyator holidan 
farqli o‘laroq, bir vaqtda aniq bilish mumkin emas. Zarrachaning nolga 
teng impuls bilan potensial o‘ra tubida aniq joylashishiga kvant 
mexanikasining noaniqlik prinsipi yo‘1 qo‘ymaydi. Hozir noaniqlik
munosabatlarini qanoatlantirishi uchun -йо)-nolinchi energiyani
ostsillyatoming eng minimal energiyasi ekanligi ko‘rsatiladi.
Zarracha vaziyatining noaniqligi sifatida o‘rtacha kvadratik xato 
qabul qilinadi:
Klassik ostsillyator uchun x = cosharakat davriy harakat boiadi, chunki vaqt bu formulaga davriy 
funksiya orqali kiradi. Demak ,
Ax =
(4.63)
boiadi,chunki
129

---

Keltirilgan (4.63) formulada a - klassik ostsillyator tebranishining 
amplitudasini ifodalaydi. Biroq ostsillyatoming toia energiyasi
En = — ma2(02