|
2 m
2
m„
d
e
-ih
----
1
—
A \
+
дх
с
e
P + - A
Цf:
+
* d
e
-ih
— i- - Л
dz
с
4> =
t f
2 m„
_+ л _ + ^ № ihe
^dx~
dy~
dz~
j
m„c
dx
’
dv
d z }
(7.46)
ihe
2m с
2m с
•у
дх
dy
Sz
ihe
mec
Yuqoridagi hisoblashlarda operatorlaming
т (л; + A*: + А*)ч> ■
■
= —
- v
24>-
2m,
i f i c /
с
A-
gradW
--------
(div
A )W H-------
-A^W .
2
m с
2
m с '
a
a
antikommutativlik
shartidan
foydalandik.
A -
vektor-potensialni
tanlashdagi ixtiyoriylikdan foydalanib,
div
A =
0
shartni bajarilishi talab
qilinadi. Demak, (7.46) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
1 (
a,
e
. V
Й
2
„т...
ihe
I P + - A I
V 2xV -
A-grad^V Л
—
A 2W .
(7 47)
2m e [
с
J
2 m t
mec
6
2 m tc
K' A / )
Atomdagi elektron bir vaqtning o ‘zida magnit maydoni va
yadroning elektr maydoni ta’ sirida bo‘ ladi. Ta’ sir etuvchi yadroning
elektr maydonini markaziy maydon deb hisoblaymiz va mazkar
maydondagi elektronning potensial energiyasini t/(r) orqali belgilanadi.
Magnit maydonini esa bir jinsli deb qabul qilinadi, uning qiymatini
И
ga teng deb olamiz va
z -
o ‘ qi bo‘yicha y o ‘ nalgan deb hisoblanadi. Shu
tarzda tanlab olingan magnit maydoni A - vektor-potensiallardan hosil
bo‘ lib uning komponentalari quyidagicha bo‘ ladi:
A * = ~ \ H-V ,
Ay = ~ H x } Az
= 0.
(7 .4 8 )
Magnit
maydoni
esa
H = ro*A
bo‘ lgani
uchun
uning
komponentalari quyidagi ko'rinishda bo‘ ladi:
,
ч
dA
HA,.
H = (
r o t A
) = — =------- - = 0.
*
dy
dz
Hi = ( , « A ) , = - - r
= 0,
(? 4 9 )
H = (ro(A)
=
+
=
'
8
x
dy
2
2
Yuqorida hosil bo'lgan natijalar hisobga olinsa (7.47) dagi
A
gradyr
had uchun
A ■
grad1¥
=
Ax
—— v Ar
-----h
A.
— = — H
Эх
dy
‘ dz
2
va
A z4*
had uchun esa
X
---------------- V -
dv
dx
J
A z4> = ( A 2
X + A 2 + A : )
W
=
- H
2
(x
2
+
v
2
)
W
ifodalarni olish mumkin.
210
Shunday qilib, bu hoi uchun Pauli tenglamasining ko‘rinishi
quyidagicha boiadi:
м «
’ , _ Л
у ’ Чг + Е / ( , ) Ф - ^ Н
dt
2me
mec
^
dy
dx j
+ - ^ H
2( x 2 + y 1) W + ^
( a
zH )4>.
ьт„с
2m с
+
(7.50)
Kichik magnit maydonlar bo‘ lgan holda (7.50) dagi
H2
hadni
hisobga olinmasa ham bo‘ ladi. Ikkinchidan
iti
Э
3
^
■ „
3
» >
-ih — = M .
d(p
у
-----
x
—
Эх
dv
(7.51)
ifoda orbital moment komponentasining operatoridir. Uchinchidan
ft1
H ° =
-------
V 2 + U ( r )
2 m„
(7.52)
belgilash kiritilsa, ya’ ni magnit maydoni bo‘ lmagan holda elektronning
Gamiltonianini
H"
orqali belgilanadi va quyidagi ifodaga kelinadi:
in
—
=
H ° W +
+
h a
z) 4*
dt
2m с
еИ
(7.53)
Statsionar holatlari ko‘ rib chiqiladi, ya’ni toiqin funksiyani
Y
(x , y , z , t )= 4 '(x , y , z )e
*
(7.54)
ko‘ rinishda ifodalab, uni (7.53) tenglamaga qo‘ yilsa,
Н 0х¥ + - ^ - ( м , + П о }i> = E4<
(
7 5 5
)
2
mec
'
\ ■
j
tenglamaga kelinadi.
Endi
a.
ning lP to iq in funksiyasiga ta’ sirini hisoblab chiqiladi:
ш
( ]
(ft,
tr,W =
0
- V lf t / \~ft
211
Hisoblangan natijaga ko‘ra (7.55) dagi statsionar holatlar uchun
tenglama ikkita
va
funksiyalar uchun tenglamalarga ajraladi va
ulaming ko‘rinishlari quyidagicha bo‘ ladi:
^ > 1
+ ~ - ( M z
+ l)y/, =
Ey,
(
7
.
56
)
lm ec
v
eH
Я >
2
+ ^ ( М г-
1)^2
= £^2.
(
7
.
57
)
Bu tenglamalaming yechimi, magnit maydon bo‘ lmaganda,
s . = -
spin uchun
yr'rJm
=
^
j
ga teng bo‘ ladi, xususiy qiymatlar esa
£ = £ (J,
ga
teng bo‘ ladi. Agarda elektronning spini
sz= - ~
ga teng bo‘ lsa , u holda
yechim
= 0
ga teng b o‘ lib, uning xususiy qiymatlari E
=
¥„hn
ligicha qoladi. Bu yechimlarda
цг„,я = Rnl(r)Ylm( e ,
ga tengdir. Magnit
maydon ta’ sirini hisobga olinsa, to‘ lqin funksiyalar, ya’ ni xususiy
funksiyalaming ko‘rinishi o ‘ zgarmaydi, faqat xususiy qiymatlar boshqa
qiymatlar qabul qiladi.
ekanligini hisobga olib, (7.56)
va (7.57) tenglamalaming quyidagi ikkita yechimiga ega bo‘ lamiz:
V u c h u n xususiy qiymat:
е = е ’„ш
= £" + -^ L (w + i), bunda
sr
= ~.
(7.58)
2mvc
2
uchun xususiy qiymat:
E = E ’lm= E ° + —
-(w -l), bunda
5
. = - - . (7.59)
2
mcc
"
2
Olingan (7.58) va (7.59) yechimlardan korinib turibdiki, magnit
maydon ta’ sirida energetik sathlar ajraladi, ya’ni aynish holati bartaraf
etiladi. Elektronning energiyasi magnit maydonga nisbatan harakat
miqdori momentining y o ‘nalishiga b og’ liq bo‘ ladi, ya’ ni
m
magnit
kvant soniga bog’ liq bo‘ ladi. T o ‘ lqin funksiyalari esa o ‘ zgarmaydi,
boshqacha aytganda magnit may donning ta’ siri atomning holatini
o ‘ zgartirmaydi. Energetik sathlaming ajralishi orqali kuzatilayotgan
spektral chiziqlaming soni ham ortadi. Optik o'tishlarda
m
kvant soni
faqat
+1
yoki 0 ga teng o ‘zgarishlamigina qabul qiladi. Bu hodisa
Zeyemanning oddiy effekti deyiladi . Spin magnit moment yorug’ lik
to‘ lqini maydoni bilan kuchsiz ta’ sirlashgani uchun hisoblashlarga faqat
elektronning spini o ‘ zgarmaydigan hollargina kiradi. Ushbu o ‘ tishlar
19-rasmda
(a,h,c)
va (
a',h',c
) chiziqlar orqali tasvirlangan.
m = + l
2p
m =
0
nt =
0
m = - I
m = ~l
a
b
с
a
b '
с
Is.
s =
+h/2
Maydon bo'lmaganda
(H =0)
Maydon bo'Iganda
(ff= 0 )
19-rasm. Spinni hisobga olgan holda s- va p- termlarning kuchli magnit
maydonida ajralishi.
0
‘ tish chastotalari quyidagi formula orqali hisoblanadi:
Magnit maydon bo'lmagan holdagi o ‘ tish chastotasini ю° orqali,
magnit maydon bo‘ lgan holdagi о ‘ tish chastotasini
ы
orqali belgilansa,
u holda (7.60) quyidagi ko‘ rinishga o ‘ tadi:
Endi
m ' - m ’
=
o,±i ekanligini hisobga olib, tashqi magnit maydonda
nurlanish yoki yutilish spektr chiziqlari uchun uchta chastotaga ega
bo‘ linadi: ulardan biri
= o
ga to‘ g ’ri keluvchi siljimagan
cou
chastotaga mos kelsa, qolgan ikkitasi esa
m’ -m " = ±\
ga to‘ g ’ ri keluvchi,
asosiy siljimagan chiziqdan
±J+L
birlikka simmetrik siljigan,
2 m r
chiziqlarga mos keladi. Olingan (7.61) dagi natija Zeyeman effektining
klassik nazariyasi orqali olingan natija bilan mos keladi. M a’ lumki,
klassik nazariyaga asosan, tekisligi maydon y o ‘ nalishiga perpendikular
bo‘ lgan elektron orbitasiga magnit maydon ta’ sir ko'rsatadi. Bunda
йу = й>° 4----------
(n i — i n) .
2m f
(7.61)
213
elektronning orbitada aylanish burchak chastotasining o ‘zgarishi
Larmor chastotasiga teng bo‘ ladi: n, = --'H. . Kvant mexanikasi asosida
olingan (7.61) formulada
n
Plank doimiysi qatnashmaganligi tufayli, bu
natija klassik nazariya tomonidan olingan natija bilan mos keladi.
Boshqacha aytganda ajralgan chiziqlar orasidagi chastota bo‘ yicha
masofa Plank doimiysiga hamda kvant sonlariga bog’ liq emas.
Do'stlaringiz bilan baham: |
