Nazariy fizika kursi

x
bo‘lib, r radius-vektoming (x,y) tekisligiga proyeksiyasini x o‘qi bilan 
tashkil qilgan burchagini ifoda qiladi.
Shredingerning (5.2) tenglamasini sferik koordinatalarda yozish 
uchun Laplas operatorining sferik koordinatalardagi ifodasi, ya’ni (2.74) 
va (2.96) ifodalardan foydalaniladi va quyidagi tenglama hosil qilinadi:
1 ЭЛгЭуЛ 
1 
Э
s m e ^
d8
r1 dry dr J r1 sin0 90
(2.74), (2.75) va (2.97) ifodalardan foydalanib
и. _ Д _ ^ +^ Г £ _^(г)Ъ = 0
r" sin 0 Э qr ft *-
2
H = T r + ^ - j+ U ( r )  
(5.3)
2 mr
tenglik hosil qilinadi. Demak, markaziy maydondagi statsionar holatlar 
uchun Shredinger tenglamasi
A 
2
Tr\i/ + -P~T y/ + U(r)y/ = Exi/ 
(5.4)
2mr
ko‘rinishga ega ekan.
Bu tenglamadagi у/ to‘lqin funksiyasini r, 
e,
koordinatalar funksiyasi sifatida izlash tabiiy dir. (5.4) tenglamaning r,
в,
0 <9  va 0 < 
¥
A 
2
yechimlami topish lozim. H va M
operatorlar kommutativ 
bo‘lganligi sababli, ular umumiy xususiy funksiyalarga ega bo‘lishlari 
kerak, shu tufayli ty 
to‘lqin funksiyasi uchun ikkinchi tenglama 
quyidagicha boiadi:
(5.5)
Ushbu tenglamadagi M 2 ning xususiy qiymatlari 
+1) ga teng
bo‘ladi va (5.4) tenglamada M fy o‘miga Й2/(/ + 1)у/ kattalikni qo‘yish 
mumkin. U holda quyidagi tenglamaga kelinadi:
Tr 
у
+ 
+ U 
(r)y 
= Ey 
(5.6)
2 mr
143

---

Olingan (5.6) tenglama faqat bitta r o‘zgaruvchiga bogiiq 
boiganligi uchun цг{г,в,(р) toiqin funksiyasini quyidagi koiinishda 
izlanadi:
\jf(r,e,(p)=R(r)Ylm{e,
(
5
.
7
)
bunda Ylm(e,cp) funksiya M 2 operatoming xususiy funksiyasi. Olingan 
Vf{r,0,(p) funksiya ham (5.5), ham (5.6) tenglamalarning yechimi boiadi 
va ushbu ikkita tenglamalami qanoatlantiradi. Agarda (5.7) funksiyani
(5.6) tenglamaga qo‘ysak va r,Je,ip) ga boiib yuborilsa, R(r) funksiya 
uchun Shredinger tenglamasining radial qismi hosil qilinadi: 
л „ ft2
1(1
 + 
1
)
T>R + - ~ T - R + U(
v
)R = ER. 
(5.8)
Eslatib o‘taylikki, ^от(б-.ф) funksiya M 2 operatoming xususiy 
funksiyasi boiib, bir vaqtning o‘zida impuls momenti bitta 
proyeksiyasining ham xususiy funksiyasi boiadi, koordinatalar 
sistemasini shunday tanlaymizki, nazarda tutilayotgan proyeksiya M z 
proyeksiyasi boisin. Shu sababdan markaziy kuch maydonida 
energiyaning saqlanish qonunidan tashqari yana ikkita saqlanish qonuni 
mavjud boiadi, ya’ni harakat miqdori momentining saqlanish qonuni va 
fazodagi ixtiyoriy ravishda yo‘naltirilgan z - o‘qiga moment 
proyeksiyasining saqlanish qonunlaridir. Boshqacha aytganda, markaziy 
simmetrik maydonda toiiq energiya, impuls momentining kvadrati va 
z- o‘qiga impuls momenti proyeksiyasi bir vaqtning o‘zida oichab 
boiadigan kattaliklarni tashkil qiladi.
Toiqin funksiyaning radial tashkil etuvchisi uchun hosil boigan 
(5.8) 
tenglamani 
batafsil 
tekshirib 
chiqaylik. 
Olingan 
(5.8) 
tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishda izlanadi:
R(r) = ~
r X(r) 
(5.9)
va (5.9) ni (5.8) ga qo‘yib,
h2 I d ( jdR') 
h2 1 d , 
, 
h2 I d 2 x
2
m r
1
di\