Nazariy fizika kursi

I I bob
KVANT M EXANIK ASINING M ATEM ATIK
APPARATI
2.T. Chiziqli va o ‘z-o‘ziga
qo‘shm a operatorlar
Har bir fundamental fizikaviy nazariyada o ‘ziga xos matematik 
apparat qoilanilad i. Klassik mexanikani vujudga kelishi differensial va 
integral hisoblash metodlarining rivojlanishi bilan chanbarchas b o g iiq . 
Elektrodinamika fanini va Eynshteynning relyativistik mexanikasini 
paydo b o iis h i esa, vektor va tenzor analizning keng hamda har 
tomonlam a q o ilan ish i bilan b o g iiq . Kvant mexanikasining asosiy 
qonunlarini aniq va to ‘g ‘ri ifodalash uchun matematiklar tomonidan 
ishlatilayotgan tushunchalar va g ‘oyalami shu fanga tatbiq qilish lozim 
edi. Kvant 
mexanikasidagi bu g ‘oyalam ing eng asosiysi va keng 
qoilaniladigani bu operatorlar nazariyasidir.
M aiu m k i, moddiy nuqta trayektoriyasini ifodalovchi funksiyalarni 
aniqlab berish masalasi klassik mexanikaning asosiy masalasini tashkil 
etadi va bu nazariyada fizik kattaliklar koordinata va vaqtning 
funksiyasi sifatida tavsiflanadi. Kvant mexanikasida esa vaziyat 
batamom boshqacha, chunki elektronning koordinata va impulsi, bir 
vaqtning o 'zid a aniq qiymatlar qabul qila olmaydigan fizik kattaliklar 
turiga kiradi. Ikkinchi tomondan kvant nazariyasi klassik mexanikadan 
farqli ravishda b o ia ja k voqealami aniq aytib bera olmaydi, balki ularni 
amalga oshish ehtimolligini k o ‘rsatadi. Shuning uchun ham, bu 
fikirlam i to 'g ri aks ettirish uchun mutlaqo boshqacha b o ig a n
matematik apparatni q o ilash g a m ajbur b o iin d i va bunday nazariya 
sifatida operatorlar nazariyasi qabul qilindi.
Ushbu m atem atik apparatni bayon qilishdan oldin (1.83) va (1.84) 
ifodalarda mos holda koordinata hamda impulslar funksiyalarining 
o ‘rtacha qiymatlarini qanday aniqlaganimizni eslaylik. Agar ana shu 
funksiyalardagi impulslar o ‘m iga impuls operatorlaridan foydalanilsa, 
impuls funksiyalarining operatorlar orqali tuzilgan ifodasiga kelinadi. 
Ushbu natija shuni k o ‘rsatadiki, har qanday koordinata va impulslarning 
m urakkab funksiyasi b o ig a n mexanik kattaliklar mos operatorlar orqali 
ifoda qilinishi kerak.
58

---

Kelgusida ushbu m unosabatlar asos sifatida qoilaniladi. Fizik 
kattalildarni Kvant m exanikasidagi sistemaning rivojlanishini ifodalash 
uchun, operator deb nom langan m atematik tushuncha kiritildi. 
M atematikada operator deb bir funksiyani ikkinchi funksiya bilan 
taqqoslash usulini ifodalovchi 
L
belgiga aytiladi, y a n i :
Lu(x) = v (x )
(2-1)
M asalan, 
L = x
b o is in , u holda 
v(x)
funksiyani olish uchun 
u(x)
funksiyani o ‘zining 
x
argum entiga ko'paytirish kerak, yoki 
L =
-
b o is a , u holda 
v(x)
funksiyani hosil qilishda «(.*) funksiyani 
differensiallash lozim.
Endi operatorlar ustida bajariladigan matematik amallarni k o ‘rib 
chiqaylik. Ikkita 
A
va 
в
operatorlar berilgan b o isin . T o iq in
funksiyasiga
С у/= Ayr + Byf
(2.2)
tarzda ta ’sir etuvchi с operatorni 
л
va 
в
operatorlarning yig‘indisi 
deyiladi va bu operator:
C = A + B
k o ‘rinishda yoziladi. Ikkala 
A va в
operatorlarning
D = i - B
k o ‘paytmasi esa
£>y = A
(Bt^)
m a’noni bildiradi, y a ’ni у/ funksiyaga в operator bilan ta ’sir qilishi 
kerak, so ‘ngra hosil b o ig a n yangi to iq in funksiyaga 
л
operator bilan 
ta ’sir 
etish 
lozim. 
M uhimi, 
operatorlarning 
k o ‘paytmasi 
k o ‘payuvchilam ing tartibiga b o g iiq . M asalan, agar /) 
=