Navoiy davlat pedagogikainstituti

2.4.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, X t.m.ning matematik kutilmasini toping.

X	500	50	10	1	0
P	0.01	0.05	0.1	0.15	0.69

MX=5000.01+500.05+100.1+10.15+00.69=8.65.
2.5.-misol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan .
C va MX ni toping.
Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra . Demak, va .
Endi matematik kutilmani hisoblaymiz:
.


Dispersiya

3. 
   X t.m. dispersiyasi deb, ifodaga aytiladi.
   

Dispersiya DX orqali belgilanadi. Demak,


. (2.5.3)

Agar X dickret t.m. bo‘lsa,

, (2.5.4)

Agar X uzluksiz t.m. bo‘lsa,

(2.5.5)
T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir:
DX=MX²-(MX)² (2.5.6)
Bu formula matematik kutilma xossalari asosida quyidagicha keltirib chiqariladi:
Dispersiyaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC=0.
   
2. 
   O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratga ko‘tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,
   

D(CX)=C²DX.

3. 
   Agar XY bo‘lsa,
   

D(X+Y)=DX+DY.

Isbotlar: 1. .

2.
.
3. (2.5.6.) formulaga ko‘ra
■

X	-1	0	1	2
P	0.2	0.1	0.3	0.4

2.6.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan:
MX va DX ni hisoblaymiz:
MX=-10.2+00.1+10.3+20.4=0.9,
.

4. 
   X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi(chetlashishi) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:
   

(2.5.7)
Dispersiyaning xossalaridan o‘rtacha kvadratik tarqoqlikning xossalari kelib chiqadi: 1. ; 2. ;

Ba’zi muhim taqsimotlar

Binomial taqsimot

5. 
   X diskret t.m. binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2,…n qiymatlarni
   

, (2.6.1)

ehtimollik bilan qabul qilsa.

Bu yerda .
Binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. yaqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega:

X=m	0	1	2	…	m	…	n
				…		…

Nyuton binomiga asosan . Bunday taqsimotni orqali belgilaymiz.

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz.

.
| almashtirish bajaramiz| =
.
Demak, .


Puasson taqsimoti

6. 
   Agar X t.m. 0,1,2,…m, qiymatlarni
   

(2.6.2)

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda a biror musbat son.

Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m.ning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega:

X=m	0	1	2	…	m	…
				…		…

Teylor yoyilmasiga asosan, . Bu taqsimotni orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

,

Demak, .

Geometrik taqsimot

7. 
   Agar X t.m. 1,2,…m, qiymatlarni
   

(2.6.3)

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda .

Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m.larga misol sifatida quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o‘qlar soni va hokazo.
Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega:

X=m	1	2	…	m	…
			…		…

,

chunki ehtimolliklar geometrik progressiyani tashkil etadi: . Shuning uchun ham (2.6.3) taqsimot geometrik taqsimot deyiladi va orqali belgilanadi.

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

Demak, .


Tekis taqsimot

8. 
   Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi
   

(2.6.4)

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan t.m. deyiladi.

Bu t.m.ning grafigi 14-rasmda berilgan. [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan X t.m. ni ko‘rinishda belgilanadi. uchun taqsimot funksiyasini topamiz. (2.4.2) formulaga ko‘ra agar bo‘lsa
,
agar bo‘lsa, va bo‘lsa,
bo‘ladi. Demak,

F(x) taqsimot funksiyaning grafigi 15-rasmda keltirilgan.



14-rasm.



15-rasm.


t.m. uchun va larni hisoblaymiz:
;

Demak, , .

Ko‘rsatkichli taqsimot

9. 
   Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi
   

(2.6.5)

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X t.m. ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda biror musbat son. parametrli ko‘rsatkichli taqsimot orqali belgilanadi. Uning grafigi 16-rasmda keltirilgan.

16-rasm.



17-rasm.

Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi:

Uning grafigi 17-rasmda keltirilgan.

Endi ko‘rsatkichli taqsimotning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

Demak, agar bo‘lsa, u holda va .

Normal taqsimot

Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‘ziga xos o‘rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya’ni boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko‘p qo‘llaniladigan taqsimotdir.

10. 
    X uzluksiz t.m. normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa
    

(2.6.6)


a va parametrlar bo‘yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal t.m.ning taqsimot funksiyasi


(2.6.7)

Agar normal taqsimot parametrlari a=0 va bo‘lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega:

Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9-rasmda keltirilgan). Taqsimot funksiyasi

ko‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda keltirilgan).

a va parametrlarni ma’nosini aniqlaymiz. Buning uchun t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:

Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,

.

Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya hisoblashda almashtirish va bo‘laklab integrallashdan foydalanamiz:

.

Demak, va o‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.

18-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o‘zgarishi tasvirlangan:



18-rasm.

t.m.ning intervalga tushishi ehtimolligini hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma’lumki,

Laplas funksiyasidan foydalanib((1.14.6) formula), quyidagiga ega bo‘lamiz:

(2.6.8)

Normal taqsimot taqsimot funksiyasini Laplas funksiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo‘ladi:

(2.6.9)

Agar Laplas funksiyasi bo‘lsa, u holda va (2.6.8) formulani quyidagicha yozsa bo‘ladi:

(2.6.10)

Amaliyotda ko‘p hollarda normal t.m.ning a ga nisbatan simmetrik bo‘lgan intervalga tushishi ehtimolligini hisoblashga to‘gri keladi. Uzunligi 2l bo‘lgan intervalni olaylik, u holda

Demak,

(2.6.11)

(2.6.11) da deb olsak, bo‘ladi. funksiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo‘lamiz: Agar bo‘lsa, u holda uning matematik kutilishidan chetlashishining absolut qiymati o‘rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo‘lmaydi. Bu qoida “uch sigma qoidasi” deyiladi(19-rasm).

19-rasm.

2.7.-misol. Detallarni o‘lchash jarayonida mm parametrli normal taqsimotga bo‘ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga yo‘l qo‘yildi. Bog‘liqsiz 3 marta detalni o‘lchaganda hech bo‘lmasa bitta o‘lchash xatoligining absolut quymati 2 mm dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini baholang.

(2.6.11) formulaga ko‘ra Bitta tajribada(o‘lchashda) xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi . Tajribalarimiz bog‘liqsiz bo‘lganligi uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi bo‘ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.


Mavzu ga doir savollar.

1. 
   30 tadan 45 tagacha bo`lgan bitta son tavakkal tanlandi. Uni 5 ga karrali bo`lish ehtimoli topilsin.
   
2. 
   10 ta detalldan 8 tasi standart. Tavakkaliga olingan 2 ta detalldan kamida bittasi standart bo`lish ehtimoli topilsin.
   
3. 
   Yosh bola 5 ta E, M, T, U, R harfli kartochkalarni o`ynab o`tiribdi. Bola shu harflarni tavakkal bir qatorga qo`yganda, “TEMUR” so`zini yozilish ehtimoli topilsin.
   
4. 
   3-masaladagi yozilgan so`zni bo`g`indarga ajratib, har bir bo`g`indan bittadan kartochka tavakkal olinib, to`plam tuziladi. Agar bu to`plamdan ham bitta kartochka olinsa, unda qanday ehtimollik bilan unli harf bo`ladi ?
   
5. 
   4-masaladagi harf unli bo`lsa, qanday ehtimollik bilan u ikkinchi bo`g`indan bo`ladi ?
   
6. 
   Agar A hodisaning har bir sinovda ro`y berish ehtimoli 0,85 ga teng bo`lsa, bu hodisaning 5 ta tajribada ikki marta ro`y berish ehtimolini toping.
   
7. 
   x tasodifiy miqdor integral funksiya bilan berilsa,
   

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Zuparov T. M. Ehtimоllаr nаzаriyasi vа mаtеmаtikstаtistikа. Ma`ruzalar matni, Toshkent 2010 yil
   
2. 
   Abdushukurov A.A.“Ehtimollarnazariyasivamatematikstatistika” o‘quvqo‘llanma, Toshkent - 2010
   
3. 
   Abdullayev A. G. Ehtimоllаr nаzаriyasi vа mаtеmаtikstаtistikа – uslubiyqo`llanma