Науки республики таджикистан худжандский государственный

Способы вычисления Метод треугольника

Схема 1 Схема 2

_Сумма _
 Сумма _

этих 3-х этих 3-х
чисел чисел

Определитель 3-го порядка равен разности двух скобок. В первой скобке записана сумма 3-х чисел каждое из которых является произведением 3-х чисел, образованное согласно схеме 1. Во второй скобке записана сумма 3-х чисел, каждое из которых является произведением 3-х чисел, образованное согласно схеме 2.
Структурная запись

  
  
 •
 •  • •
 •  •

  
^ 
• • •
^ 
• • •
^ 
• • •
^ 
• • •
^ 
• • •
^ 
• • •

^• 
^{• }  •

•  •  • •  •  •


Метод Сарриуса

^a11 ^a21 ^a31
^a21 ^a22 ^a32
^a13 ^a23 ^a33
^a11 ^a21 ^a31
^a11 ^a21
_a32  

Схема 1 Схема 2

Правило Сарриуса заключается в следующем: необходимо дописать первые два столбца после знака определителя, таким образом, det 3-го порядка будет равен разности двух чисел. Первое число состоит из суммы 3- х чисел, каждое из которых является произведением 3-х чисел, образованные согласно схеме 1, а второе число – сумма трёх чисел, каждое из которых является произведением 3-х чисел, образованные согласно схеме 2.

Способ разложения по строкам и столбцам Th. Лапласса


Определитель равен сумме произведений элемента которой строки(столбцы) на их алгебраические дополнения.

^a11 ^a21 ^a31


^a12 ^a22 ^a32


^a13 a₂₃  ^a33
разложение по 1 строке
^a11^A11 ^{ a}12 ^A12 ^{ a}13 ^A13
разложение по 2 строке
^a21^A21 ^{ a}22 ^A22 ^{ a}23 ^A23
разложение по 3 строке
^a31^A31 ^{ a}32 ^A32 ^{ a}33 ^A33



3

^aij ^Aij

j 1




i  1,3

1. 
   столбец
   
2. 
   столбец
   
3. 
   столбец
   

Свойства определителей




^aij ^Aij
j 1




i  1,3

Определители обладают всеми свойствами, которыми обладают определители 2-го порядка.
Контрольные вопросы по теоретическому материалу

1. 
   Как вычисляется определитель второго порядка?
   
2. 
   Как вычисляется определитель третьего порядка?
   
3. 
   Перечислите основные свойства определителей.
   
4. 
   Определение минора определителя.
   
5. 
   Определение алгебраического дополнение определителя.
   
6. 
   Перечислите основные способы вычисление определителя 3-го порядка.
   

Тесты:

1. 
   Вычислить : ^{2 5}
   

3 8
А) 1 Б) -1

С) 2 Д) 0

2. 
   Вычислить:
   

4  3

А) 40
5 6
Б) 39 С) -39 Д) 0

3. 
   Упростите выражения:
   

А) 2х Б) -2х

4. 
   Упростите выражения: А) 1 Б) -1
   

1
_x0,5
sin 2x

• 
  cos 2x
  

С) -2
С) 2 Д) х
cos 2x
sin 2x
Д) 0

5. 
   Решите уравнения: ²
   

1
²  0
x

А) х=1 Б) х=-1 С)х=2 Д)х= 0

3. Практическое занятие.
Для данного вида занятий выделяется 2 кредита, на которых закрепляется полученный теоретический материал. Учебный материал предоставляется студентам также в электронном виде и состоит из следующих частей:
а) примеры и задачи с решениями б) примеры и задачи с ответами
в) примеры и задачи для домашней работы Образец практического занятия
Примеры решения задач
1.Вычислить определитель второго порядка:

1 4
1.
5 3

 1 3  5  4  3  20  23;

3
2. ⁴
1
_3. 1
^1  3 5  (1 4)  15  4  19;
5


^{ 2}  1(3)  (2)  (1)  3  2  5;
 3

a  b a  b
4.
^{a  b}  (a  b)(a  b)  (a  b)(a  b)  (a  b)²  (a  b)²  a ²  2ab  b²  (a ²  2ab  b² ) 
a  b

 3
_5.  2


^1  (3)  (4)  (2)  (1)  12  2  14;
 4
 a ²  2ab  b²  a ²  2ab  b²  4ab

cos
_6. sin

• 
  sin cos
  

 cos cos  (sin sin )  cos²   sin ²   1

tg
7. ¹
8.
1
tg
 tg  tg 1  tg ² 1  ¹
cos²  _;

1 2 
2  1
 (1
2)(1
2)  (2 
3)(2 
3)  1²  (
2)²  (2²  3)  1 2 1  2;

x 1
9. ^x3
1
x²  x 1

 (x 1)(x²  x 1)  x³  x³  x²  x  x²  x 1 x³  1;

 1 _;


кидар ин чо
  cos ^  i sin ^

10.
1 
3 3 _;

^{ 1}   ²  (1)   ² 1  (¹  i ³ )² 1  ¹  2  ¹  i ³  i ^{2 3} 1  ¹  i ³  ³ i² 1  ^{1 i 3} ;

1 
2 2 4 2 2 4
4 2 4 2

2.Вычислить определитель, используя свойство определителей:

2 3 _ 2
^{ 3}  2  4  (3 3)  8  9  17

_1.  3 4 3 4 _;

0 2 _ 0
^1  0  3  (1 2)  0  2  2

_2. 1 3 2 3 _;

2  5 _{ } 0
¹  (0  (5) 1 2)  (0  2)  2

3. ⁰
4
4. ³
1

 5

10
2


 5⁴
3
 5 _;
¹  5(8  3)  5 5  25
2 _;

3 5 _ 3
^{ 2}  3 4  (2)  5  12 10  22;

_5.  2 4 5 4

3  2 _{ 2} 3
¹  2  (3 3  7 1)  2  2  4;

_6. 7  6 7 3
Задачи для самостоятельных работ . 1.Вычислить определитель второго порядка:

2 3 _;
1. 1 6
9
1 6
;
_2. 7 3
 45
4
3. ¹
3
^{ 6 ;}  27

1  6
;
5  3
;
10 0
;

4. ⁰
20
³ 3
1
;


1 5 _;
5. ^{4
 6} 18
3 1
;
6. ^{7
 3} 30

7. ^4
1 16
8. ^{2
 3} 10 _9. ^{1 3}
8

10 3
;
2  3
;
11 0 _;

10. ^{7
 3} 3 _11. ^4
6 24 _12. ^{7
 3}  33

_a 2
13. ^ab
ab _;
b2


0


14.
a²  ab  b²
a  b
a²  ab  b²
;
a  b
 2b³

sin
cos
;
1 log_b a _;
2x 1
;

15.
sin 
cos 
sin(   ) _16.
log _a b
¹ 0 _17. ^x
2 5x

18.
sin

• 
  tg 2
  

0
2cos ^;


sin 2


19.
a  bi

• 
  c  di
  

c  di a  bi ^;


здесь i²= -1

a²  b²  c²  d ²

^{ } 2 2
; ки дар ин чо   cos  i sin ;
1

_20. 1  3 3
4. Самостоятельная работа
По всем темам для каждого студента в отдельности предлагается самостоятельное задание, состоящее из трёх частей по решению примеров и задач, предлагаемое студентами в начале занятия в электронном виде. Приведем пример один из вариантов, самостоятельной работы по теме
«Определители второго и третьего порядка».
Часть А (от 1 до 5 баллов)
Задание 1. Вычислить определитель 2-го порядка:

1. 
   исходя из общего определения;
   
2. 
   поменяв две строки;
   
3. 
   поменяв двух столбцов;
   
4. 
   поменяв строку и столбец;
   
5. 
   предварительно упростив;
   
6. 
   разложив по элементам любой строки;
   
7. 
   разложив по элементам любого столбца; любим другим способом.
   

№1 а)
^{5  7} _{; б)} ^{4i 8k} _{; в)} a³

• 
  a ⁴
  

;

1 2  n 2m
_a5 _a6

Задание 2.1. Даны определители третьего порядка:

1. 
   найти миноры m₁₂ , m₂₂ и m₃₂ ;
   
2. 
   найти все элементы алгебраического дополнение;
   
3. 
   вычислить определитель следующими методами:
   
   1. 
      по правилу треугольника;
      
   2. 
      методом Саррюса;
      

а) подставив двух столбцов на права; б) подставив двух столбцов на лева; в) подставив двух строк на верху;
г) подставив двух строк в внизу;

3. 
   методом Лапласа;
   

а) разложив его по элементам любой строки; б) разложив его по элементам любого столбца;

4. 
   предварительно упростив;
   

а) получив предварительно нули в i-й строке; б) получив предварительно нули в j-м столбце;

5. 
   методом Жордано-Гаусса (приведя к треугольному виду).
   

1 5
 5 3
№1 а) ^{1 0}
3 2 1 4
2  1 3 4
¹ ; б) ^{5 3 2} .

Задание 2.3. Решите уравнения:

№1 а)

₄sin x
 1
_{18  2}5sin x
1
x
 0 ; б) 2
7
x x
 1 0  0.
4 5

Задание 2.4. Решить неравенства:

№1 ⁴
9 x² ₂
 2
Ответ:    

 3;  2
9
 2 2;3

2.