Научно-исследовательская работа на кафедре сапр спбгэту «лэти»

Векторное описание квантового объекта информации
Центральным понятием системы аксиом фон Неймана в квантовой теории является абстрактное гильбертово пространство – бесконечномерный аналог того трехмерного, в котором мы живем. Оно впервые возникло как объект математической теории в работах Гильберта по интегральным уравнениям. Операторная формулировка квантовой механики позволила фон Нейману подвести прочную основу под статистическую интерпретацию квантово-механических утверждений. Исход измерения значения физической величины, производимого над системой, которая находится в определенном квантовом состоянии, описывается распределением вероятностей, зависящим от вектора этого состояния и спектрального разложения оператора измеряемой величины. Матрица плотности позволила фон Нейману получить квантовый аналог классической формулы для энтропии.
По фон Нейману, различным квантово-механическим системам соответствуют, в общем случае, различные алгебры определенного вида, состоящие из операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Эти алгебры являются одним из основных понятий квантовой математики и играют центральную роль в одном из главных ее разделов – квантовой теории вероятностей. Для настоящего исследования алгебры фон Неймана помогают лучше разобраться в фактах самой теории меры как некоего предельного, или «классического», случая, соответствующего нулевой постоянной Планка. С этих позиций оказывается плодотворным интерпретировать события в квантовой механике как подпространства в гильбертовом пространстве – потому что в коммутативном случае эти подпространства можно естественным образом отождествить с измеримыми подмножествами, т. е. «классическими» событиями.
«Математики и логики давно заметили, – пишет К. К. Жоль, – что в практике научного познания мы пользуемся не одной «универсальной» логикой, а различными логическими системами и методами. Все определяется выбором соответствующих теоретико-методологических установок, обусловленных типом решаемых задач. Так, если говорить об аксиоматической логике, то вопрос упирается в выбор системы аксиом. Как только аксиомы выбраны, то ни о какой нечеткости наших рассуждений не может быть и речи. Все утверждения, формулируемые на основе выбранной системы аксиом, должны быть строго и без противоречия увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в данной системе аксиом».
Весьма общий принцип, применяемый в математике, заключается в том, что объекты не измеряются (конструируются в некотором базисе), а сравниваются путем сопоставления свойств. Для них важны не значения, а принадлежность некоторому классу эквивалентных объектов, обладающих теми же свойствами. Т. е. происходит распознавание образа, а не вычисление значения. Этот принцип ориентирован на косвенное задание объектов с помощью их свойств и, тем самым, на задание не одного объекта, а совокупности элементарных объектов (различимых, но не наблюдаемых). В этой связи можно вспомнить о виртуальных частицах, окружающих всякую реальную элементарную частицу. Виртуальность (потенциальная возможность) и есть состояние одновременного «и да, и нет». Это же относится и к понятию неопределенности в соотношении Гейзенберга некоммутативности физических величин в квантовой механике или, например, к фейнмановским интегралам по траектории.
Термин «реалистически» нужно понимать широко. Даже когда его толкование ведется в терминах эмпирических процедур, в действительности всегда подразумеваются некоторые абстракции, зачастую очень рафинированные. Эти абстракции могут быть не только естественно-научными, но и философскими [17], [21].
Вероятностная форма причинности – основная форма. Классический детерминизм (с его характерным – или «да», или «нет») представляет собой лишь ее предельный, вырожденный случай. Он отражает логику обыденной речи, ориентированной на макромир. В квантовой механике вероятность процесса определяется из квантово-механического принципа суперпозиции и правила сложения амплитуд вероятностей и , а именно
,
где W – вероятность процесса, и – амплитуды вероятностей, * – знак комплексного сопряжения. Если положить, что – амплитуда вероятностей положительного процесса («да»), а – амплитуда вероятностей отрицательного процесса («нет»), то слагаемое в фигурных скобках в этом соотношении является интерференционным членом, тем самым «и да, и нет», о котором упоминалось ранее. Именно это слагаемое является сутью квантовой механики с точки зрения логики [22], [19].
Квантовая система определяется заданием амплитуды каждого состояния (в общем случае комплексной), вероятность которого равна квадрату ее абсолютной величины. Фаза не имеет аналога в классических вероятностных алгоритмах. Она возникает в квантовой механике, где амплитуда вероятности комплексна. Как и классические вероятностные процессы, квантовые операции должны следовать своему собственному закону сохранения. Он приводит к ограничению: все квантовые операции должны быть унитарны, что соответствует волновому поведению частиц на микроуровне.
Предположим, что нужно принять некоторое решение. Задано множество логических возможностей из двух элементов: да либо нет. Решение предполагает некоторый промежуток времени, в течение которого намерения принимающего решение эволюционируют по некоторому закону (ему, конечно, неведомому, но объективно существующему). Варианты соответствующих ответов обозначим символами +1 и –1. Оценивая поведение принимающего решение, можно ввести в рассмотрение некоторую числовую характеристику его предпочтений. Из собственного опыта каждый знает, что в таких ситуациях интуитивно ощущается та или иная степень предпочтения, которая с течением времени может изменяться, что, в конечном итоге, сказывается на принятом решении. Колебания лица, принимающего решения, в ту или иную сторону (+1 либо –1) являются обратимыми до тех пор, пока не принято окончательное решение. Уместно связать с состоянием данного лица точку комплексной плоскости, которая, изменяя свое положение, в конечном итоге отражает его окончательное решение: либо +1, либо –1. До принятия решения координаты точки и представляют степени предпочтения либо в сторону +1, либо в сторону –1, причем должно выполняться условие: .
Последнее выражает собой требование достоверности утверждения: решение равно +1 либо –1 (других решений нет). Тем самым оформляется упомянутая ранее числовая характеристика предпочтений в виде единичного вектора на комплексной плоскости. Положение вектора ¹ определяется парой вещественных чисел, по абсолютной величине изменяющихся от нуля до единицы: причем (x, y – оси декартовой системы координат на плоскости).
Вектор отождествим с решением «да», а вектор – с решением «нет». Заметим, что: (векторы и здесь обозначают единичные векторы соответственно осей x и y декартовой плоскости x0y). Полярные координаты вектора : полярный радиус и полярный угол . Полярный радиус определяется однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, представляющего собой целое, кратное . Тогда полярная форма вектора примет компактный вид .
Для вектора возможна следующая статистическая интерпретация: допустим, что на заданный вопрос требуют ответа «да» либо «нет», и должны ответить N человек. Все они на данный момент времени находятся в состоянии нерешенности. Потребовав от каждого из них немедленного ответа, получим ответов «да» и ответов «нет», поэтому можно ввести частоты (вероятности) положительного и отрицательного ответов. Сумма . Далее можно ввести параметр , такой, что , а . Именно поэтому величину целесообразно представлять себе в виде единичного вектора в двухмерном пространстве , где , . Квадраты проекций вектора на ортогональные оси и равны соответствующим частотам (вероятностям): , .
Согласно введенной интерпретации колебания лица, принимающего решения, связаны с поворотами единичного вектора в двухмерном пространстве. Эти колебания можно считать полностью обратимыми: можно склоняться то к одному, то к другому ответу, но как только ответ дан, то тем самым положено начало необратимым процессам. Ответ принадлежит цепочке необратимых явлений, подчиняющихся законам традиционной (Аристотелевой) логики вычислений.
Рассмотрим матричную форму задания оператора преобразования положения вектора на комплексной плоскости. Пусть .
Воспользуемся линейным преобразованием вектора в вектор , или , которому соответствуют уравнения , .
Сокращенная форма записи имеет вид: .
Матрица, заданная в диагональной форме, обладает той особенностью, что она передает геометрический смысл соответствующего ей преобразования.
Результат преобразования вектора состоит в его симметричном отображении относительно оси x: положение точки на оси x, определяемое координатой , остается неизменным, а положение точки на оси y, определяемое координатой , изменяется симметрично относительно оси x.
Векторы и , сохраняющие свои направления с точностью до знака, называются собственными. В определении собственного вектора справедливо равенство , где число  (в общем случае, комплексное) называется собственным значением вектора . Для рассматриваемого примера ответ «да» соответствует собственному вектору , удовлетворяющему соотношению , где .
Заметим, что для собственного значения существует и другой собственный вектор , где , а собственный вектор равен . Таких собственных векторов сколь угодно много. Они коллинеарные оси x с точностью до направления: либо совпадают по направлению, либо противоположны. Важным характеристическим свойством является сохранение преобразуемой точки на оси x: если точка принадлежит оси x, то после преобразования с она сохраняет свое положение на оси x независимо от того, лежит ли точка правее, либо левее начала отсчета 0.
Ответ «нет» соответствует собственному вектору , удовлетворяющему соотношению при .
Аналогично предыдущему случаю, можно показать, что любая из точек, принадлежащих оси y (либо выше начала отсчета 0, либо ниже), определяет собственный вектор, соответствующий собственному значению рассматриваемого преобразования А. Так, вектор также является собственным для , так как .
или
.
Следовательно, ответу «да» можно поставить в соответствие луч, исходящий из точки 0 и совпадающий по направлению с осью x, а ответу «нет» – аналогичный луч, ориентированный по оси y. Эти лучи ортогональны.
Применительно к рассматриваемому примеру видно, что собственно принятие решения приводит к преобразованию вектора в луч, ориентированный либо по оси x, либо по оси y. В первом случае можно рассматривать вектор , а во втором – .
Непосредственно вектор уместно связать с намерением принимающего решение. Собственно решение является результатом действия проекционного оператора P, который проектирует вектор в состояние с вероятностью , либо в ортогональное ему состояние с вероятностью . Соответственно, , .
Собственным векторам оператора A соответствуют собственные значения 1 и –1, а колебаниям в принятии решения соответствуют операции вида , где – угол поворота либо к ответу +1, либо к ответу –1.
7.3. Моделирование квантовых вычислений