Натурал сонлар системаси аксиомалари системаси

N₂={(a,x)aN, x=0 ёки x=1}
Бу тўпламда  ва амалларини мос равишда қуйидаги тенгликлар орқали аниқлаймиз:

У ҳолда N₂ тўпламда амалга нисбатан бирлик элемент (1,0) кўринишда бўлади. N₂ тўпламда берилган  ва амаллари учун қуйидаги хоссаларни исботланг:
1).  коммутатив эмас,
2). коммутатив эмас,
3).  ассоцитаив эмас,
4). дистрибутивлик шарти бажарилмайди.
5.N₂ тўпламнинг шундай қисм тўплами К₂ ни қурингки, бу К₂ учун натурал сонлар аксиомалари тизимидаги 1-6 шартлар бажарилган ҳолда, бу қисм тўплам N₂ га тенг бўлмасин, яъни N₂ тўплам 7-аксиомани қаноатлантирмасин.