National open university of nigeria introduction to econometrics I eco 355

 

---

89 
 
Rearranging (5.3.4), we obtain
 
 
[ 
̂
( 
̂
)
̂
( 
̂
)]
 
 
Equation (4.3.5) provides a 100(1 - a) percent 
confidence interval 
for
, 
which can be 
written more compactly as
100(1 – 
)% confidence interval for 
:
̂
( ̂
)
 
 
Arguing analogously, and using (4.3.1) and 
(4 
3 2), we can then write: 
[ 
̂
( 
̂
)
̂
( 
̂
)]
 
or, more compactly 
100(1 – 
)% confidence interval for 
: 
̂
( ̂
)
 
Notice an important feature of the confidence intervals given in (4.3.6) and (4.3.8): In 
both cases 
the width of the confidence interval is proportional
to the standard 
error 
of the 
estimator. 
That is, the larger the standard error, the larger is the width of the confidence 
interval. Put differently, the larger the standard error of the estimator, the greater is the 
uncertainty of estimating the true value of the unknown parameter. Thus, the standard 
error of an estimator is often described as a measure of the precision of the estimator, i.e., 
how precisely the estimator measures the true population value. 
Returning to our illustrative consumption-income example, we found that 
̂
= 0.5091, se 
̂
) = 0.0357, and df = 8. If we assume 
= 5%, that is, 95% confidence coefficient, then 
the 
t 
table shows that for 8 df the critical 
= 
= 2.306. Substituting these values 
in (5.3.5), the reader should verify that the 95% confidence interval for 
is as follows: