Namangan davlat universiteti matematika fakulteti

Variatsion masalalar

Variatsion hisobning dastlabki masalalari XVII asrda yuzaga kelgan bo`lib, o`sha vaqtdan boshlab variatsion hisob matematikaning muhim tarmog`i sifatida rivojlanib kelmoqda. Variatsion hisob funksionallarning ekstremumini topish bilan shug`ullanadi. Variatsion masalalarga braxistoxrona (Ya.Bernulli), nurning bir jinsli bo`lmagan muhitda tarqalish yo`lini topish (P.Ferma) va o`q bo`ylab aylanma harakat qilib siljiyotgan jism eng oz qarshilikka uchrashi uchun uning shakli qanday bo`lishi kerakligi (I.Nyuton) haqidagi masalalar kiradi. Variatsion hisob masalalarini yechishga L.Eyler katta xissa qo`shgan. Variatsion hisob metodlari mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik-fizika va shu kabi sohalarda keng qo`llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglama yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu bobda qaraladigan metodlar ham kollokatsiya metodi kabi taqribiy yechimni analitik shaklda ifodalaydi.
Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda
(1.21)
funksionalni qaraymiz, bunda berilgan funksiya bo`lib, uch o`lchovli Evklid sohasining biror sohasida o`zgarmaslarga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalargacha uzluksizdir.
Faraz qilaylik , funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, da uzluksiz hosilaga ega va ning chekka nuqtalarida
(1.22)
shartlarni qanoatlantirsin.
funksiyaning -atrofida deb funksiyalarning shunday oilasiga aytiladiki, ular ning barcha nuqtalarida

tengsizlikni qanoatlantirsin, da uzluksiz hosilaga ega va (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion hisoblashning asosiy masalasiga ko`ra joiz funksiyalar orasida shunday funksiyani topish kerakki, u (1.1) funksionalga absolyut minimum bo`lsin:

endi oilada funksionalga minimumni ta’minlaydigan uchun zaruriy shartni topamiz. Shu maqsadda

shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiyani olamiz. Keyin ushbu funksiyani qaraymiz. Bunda - kichik parametr, shuning uchun ham oilada yotadi, deb faraz qilishimiz mumkin. Bu funksiyani funksionalga qo`yamiz, u holda

ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani ning funksiyasi deb qaraymiz: . Bu funksiya hosilasininng nuqtadagi qiymatini funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi:

xuddi shunga o`xshash

qiymat funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi. (1.24) ifodadan va variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz: