N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

P₃(x)= x³–x²–8x+12 =(x–2) ²(x+3) (12)

tenglik o‘rinli.

3-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr maxrajining s karrali ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta I tur va s–1 ta II tur eng sodda ratsional kasrlardan iborat qo‘shiluvchilar qatnashadi.

Masalan, (12) tenglikdan

ratsional kasrning maxraji uchun x=2 ikki karrali va x=–3 oddiy ildiz ekanligi kelib chiqadi va bunda

yoyilma o‘rinli bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin.

Agar biror x₁=a+bi kompleks son (9) algebraik tenglamaning ildizi bo‘lsa, unda x₂=a–bi qo‘shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo‘lishini isbotlash mumkin. Demak, P_n(x)=0 tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lsa, bu ildizlar albatta qo‘shma kompleks sonlar juftliklaridan iborat bo‘ladi.

Agar x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar P_n(x)=0 tenglamaning oddiy ildizi bo‘lsa, unda

P_n(x)=(x–x₁)(x–x₂)L_n–2(x)=(x²+px+q)L_n–2(x) [L_n–2(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²+b²]

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Masalan,

P₄(x)=2x⁴–17x³+77x²–107x–75

ko‘phad uchun x_1,2=3±4i oddiy kompleks ildiz bo‘ladi. Bu holda

(x–x₁)(x–x₂)= x²–6x+25 => P₄(x)=(x²–6x+25)(2x²–5x–3) (13)

ekanligini ko‘rsatish mumkin.

4-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar juftligidan iborat oddiy ildizga ega bo‘lsa, unda R(x) kasrning (4) yoyilmasida bitta

ko‘rinishdagi III tur eng sodda ratsional kasr qatnashadi.

Masalan, (13) tenglikka asosan,

ko‘rinishdagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi.

5-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji uchun x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar s karrali ildizi bo‘lsa, unda

P_n(x)=(x²+px+q)^sL_n–2s(x) [L_n–2s(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²–b²]

tenglik o‘rinli bo‘ladi va R(x) ratsional kasrning chiziqli yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta III tur va s–1 ta IV tur eng sodda ratsional kasrlar qatnashadi.

Masalan, P₄(x)=(x²+9)³(x–5)=0 tenglama uchun x=±3i uch karrali kompleks ildiz, x=5 esa oddiy haqiqiy ildiz bo‘lgani uchun ushbu ratsional kasr quyidagi ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘ladi:

.

Demak, yuqoridagi 2–5- teoremalardan

to‘g‘ri ratsional kasrning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari aniqlanadi. Ammo (6) yoyilmani to‘liq aniqlash uchun unga kiruvchi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi A_k , B_k koeffitsiyentlarni ham aniqlash kerak bo‘ladi. Bu masala noma’lum koeffitsiyentlar usuli deb ataluvchi usulda hal qilinishi mumkin. Bu usulning mohiyatini quyida misol orqali tushuntiramiz.

Shunday qilib, ratsional kasrning integralini hisoblash uch bosqichda amalga oshiriladi.

1. 
   Dastlab R(x) kasr maxrajning nollari orqali uning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari 2-5 teoremalar yordamida aniqlanadi.
   
2. 
   Yoyilmadagi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi A_k va B_k qiymatlari noma’lum koeffitsiyentlar usulida topiladi.
   
3. 
   R(x) kasrning eng sodda ratsional kasrlardagi (6) chiziqli yoyilmasi to‘liq topilgach, integral bu yoyilma bo‘yicha integralning chiziqlilik xossalari (§1, (3) formula) va eng sodda ratsional kasrlarning integrallaridan foydalanilib hisoblanadi.
   

Yuqorida aytilganlarni

integralni hisoblashga tatbiq etamiz.

I. Dastlab maxrajning nollarini aniqlaymiz:

Bu yerdan ko‘rinadiki, maxraj uchun x₁=0 ikki karrali, x₂=1 oddiy haqiqiy ildizlar bo‘ladi. Bundan tashqari uchinchi ko‘paytuvchidan maxrajning bir juft oddiy qo‘shma kompleks ildizi ham mavjudligini ko‘ramiz. Shu sababli integral ostidagi ratsional kasr quyidagi ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlarga yoyiladi:

.

II. Bu yoyilmadagi A₁, A₂, A₃, A₄ va B sonlarni noma’lum koeffitsiyentlar usulida topamiz. Buning uchun yoyilmaning o‘ng tomonidagi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz. So‘ngra hosil bo‘lgan kasrning suratini yoyilmaning chap tomonidagi kasrning suratiga tenglashtiramiz. Natijada quyidagi tenglikka kelamiz:



.

Bu tenglikdagi qo‘shiluvchilarni x darajalari bo‘yicha guruhlaymiz:

.

Bu tenglik x o‘zgaruvchining barcha qiymatlarida o‘rinli, ya’ni ayniyat bo‘lishi kerak. Bu esa x o‘zgaruvchining mos darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni teng bo‘lishini taqozo etadi. Bundan A₁, A₂, A₃, A₄ va B noma’lumlar uchun quyidagi 5 noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

Bu sistemani yechib,

A₁=–1 , A₂=–1 , A₃=2/3 , A₄=1/3 , B=2/3

ekanligini topamiz. Demak, integral ostidagi ratsional kasr

ko‘rinishda eng sodda ratsional kasrlar orqali ifodalanadi. Shu bilan ratsional kasrli integralni hisoblashning I –II bosqichlari yakunlandi. Endi III bosqichga, ya’ni bevosita integralni hisoblashga o‘tamiz.