Н. И. Белоусов, С. А. Бычков, А. В. Пряничников

Alout =
Aloi =
Alio =
Alin =

В таком виде матрица Alout представляет собой альбедную матрицу для полиячейки, содержащей ячейки только с внешними границами. Порядок каждой из перечисленных матриц равен числу различных типов ячеек в полиячейке.

Расчет элементов матриц в приближннии одномерности для ячеек составляющих полиячейку.

В этом приближннии угловое распределение тока нейтронов вылетающих из ячеек изотропно и элементы матриц могут быть рассчитаны как отношения площадей соприкосновения ячеек и площадей их полных поверхностей по формулам:

где
- площадь соприкосновения внешних границ ячеек типа  с внешними границами ячеек типа .
- площадь соприкосновения внешних границ ячеек типа  с внутренними границами ячеек типа .
- площадь соприкосновения внутренних границ ячеек типа  с внешними границами ячеек типа .
- площадь соприкосновения внутренних границ ячеек типа  с внутренними границами ячеек типа .


- площадь внешней поверхности ячеек типа  .
- площадь внутренней поверхности ячеек типа  .
,  = 1, 2, …Ni, где Ni – число типов ячеек в полиячейке.

При расчетах для контроля и для облегчения процедуры вычислений полезно использовать следующие очевидные соотношения

1. 
   Суммы элементов соответствующих столбцов матриц Alout и Aloi, Alio и Alin равны единице:
   

2. 
   Строки матрицы Aloi с номерами  ячеек не имеющих внутренние границы – нулевые т.е.
   
3. 
   Столбцы матрицы Alio с номерами  ячеек не имеющих внутренние границы – нулевые т.е.
   
4. 
   На практике обычно рассматриваются варианты полиячеек, в которых ячейки не соприкасаются своими внутренним , все элементы матрицы Alin - нулевые
   

Пример 1. Ячейка РБМК.
На рис 3 показано полиячеечное представление ячейки реактора РБМК с топливным каналом (ТК). Полиячека состоит из одномерных ячеек четырех типов , Ni =4. В данном примере внутреннюю границу имеет только ячейка –4.
Расчет матрицы Alout
Расчет каждой матрицы удобно начать с расчета площадей соприкосновения разных типов ячеек в полиячейке с учетом их кратностей. При этом, т.к. соответствующие матрицы состоят из долей этих площадей, сами площади можно считать в любых наиболее удобных для каждого случая относительных единицах. Например для ячеек типа 1 – 3 рассматриваемой полиячейки, представленных виде гексагональной решетки, за единицу площади удобно принять площадь грани шестиугольной призмы, ограничивающей каждую ячейку. На рис эти ячейки показаны условными шестиугольниками. Для ячейки типа 4 при расчете элементов данной матрицы за единицу можно принять всю внешнюю поверхность этой ячейки =1.
В
выбранной системе единиц и с учетом кратностей ячеек получим таблицу площадей

	6	36	72	1
	1	2	3	4

1	0	6	0	0
2	6	12	18	0
3	0	18	24	0
4	0	0	0	1

Элементы матрицы рассчитываются по формулам

Alout

0	1/6	0	0
1	2/6	18/72	0
0	3/6	24/72	0
0	0	0	1

Т
аким же образом для остальных матриц получим:

	6	36	72	1
	1	2	3	4

1	0	0	0	0
2	0	0	0	0
3	0	0	0	0
4	0	0	30	0

Элементы матрицы рассчитываются по формулам

Aloi

0	0	0		0
0	0	0		0
0	0	0		0
0	0	30/72		0
			0		0		0	1
			1		2		3	4

1			0		0		0	0
2			0		0		0	0
3			0		0		0	1
4			0		0		0	0

Элементы матрицы рассчитываются по формулам

Alio

0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	1
0	0	0	0

Alin =0.

В программе GETERA исходные данные для данного примера имеют вид.

:POLY
@ Fuel chenell - 14 zons
&VVOD
@ 1 zr cell@ rcel(1,1)=.75,
ncelsos(1,1)=1,
@ 2 fuel cell@ rcel(1,2)=0.5915,0.6815,0.92609,
ncelsos(1,2)=2,3,4,
@ 3 fuel cell@ rcel(1,3)=0.5915,0.6815,0.92609,
ncelsos(1,3)=2,3,4,
@ 4 tube+grafit ring @ rcel(1,4)=4.4,5.,6.5,9.,11.3,14.105,rcin( 4) =4.,
ncelsos(1,4)=5,6,6,6,6,6,
@
t=0.5430e+03, 0.773e+03,0.543e+03,0.543e+03,0.543e+03,0.873e+03,
troiz=
@*h* @ 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.522e-01, 0.0e+00, 0.0e+00,
@*o* @ 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.261e-01, 0.0e+00, 0.0e+00,
@zr @ 0.35e-1, 0.0e+00, 0.4335e-01, 0.0e+00, 0.4278e-01, 0.0e+00,
@u235@ 0.0e+00, 0.42e-03, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00,
@u238@ 0.0e+00, 0.20657E-01, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00,
@o @ 0.0e+00, 0.42153E-01, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00,
@*c* @ 0.0e+00, 0.42645E-01, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.0e+00, 0.851e-01,
ntcell=1,2,3,4,
krat= 1.,6.,12.,1.,
alout=
.0,1.,0.,0.,
.167,.333,.5,.0,
.0,.25,.333,.0,
.0,.0,.0,1.,
alin=
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.0,
aloi=
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.417,
.0,.0,.0,.0,

alio=
.0,.0,.0,.0,

.0,.0,.0,.0,
.0,.0,.0,.0,
.0,.0,1.,.0,

material(1)='chmc',

&end
*h*
*o*
zr
u235
u238
o
*c*
****
:corr
&vvod
&end
:micro
&vvod et=20.e+8,0.,nbv(2)=1,nbv(5)=1,
izotprnt=100*0,izotprnt(6)=1,izotprnt(7)=1,izotprnt(11)=1,
izotprnt(27)=1,izotprnt(28)=1,izotprnt(29)=1,&end
@:STOP

Влияния приближения изотропного распределения потока нейтронов на результаты расчетов.

Основным приближением в описанной выше методике расчета полей нейтронов в полиячейке является предположение об азимутальной симметрии т.е. од одномерности потока нейтронов в пределах каждой ячейки на которые разбивается полиячейка. Представляется важным выяснить к каким погрешностям и в каких параметра решетки реактора это проявляется. Если такие погрешности окажутся существенными, то можно помтавит вопрос нельзя ли скорректировать (ввести поправки в рамках рассматриваемой методики) для уменьшения этих погрешностей. Для этого следует рассмотреть случаи, когда анизотропия потока нейтронов в полиячейке проявляется наиболее сильно. К таким случаям относятся появление в полиячейке сильно поглощающих алементов – стержней управления реактивностью – ПЭЛ и стержней с выгорающими поглотителями. В данной работе рассматривалась квадратная решетка, полиячейка которой состоит из шестнадцати топливных блоков я, среди которых два ТВЭГи (топливные элементы, содержащие гадолиний в качестве выгорающего поглотителя). Расчетные модели ячейки однородной решетки и полиячейки приведены на рис 7,8

Ядерные концентрации элементов в зонах решетки приведены в табл. 1 . Наличие двух выгорающих поглотителе в центре полиячейки приводит к большим градиентам потоков нейтронов, что приводит к необходимости введения большого количества расчетных зон вокруг твэг и необходимости учета анизотропии потока нейтронов при расчете вероятностей первых столкновений. В табл 2 приведены результаты расчета коэффициента размножения в однородной решетке и в решетке с ВП по программе двумерного расчета с использованием метода Монте-Карло MCU-PR [1] и по программе GETERA. Расчет по программе MCU-PR можно считать реперным. Были проведены расчеты также и по другим известным программам –САПФИР и WIMS [4].

В табл 1 приведен нуклидный состав представленных на рис.8,9 ячеек.

Таблица 1. Материальная композиция ячеек BWR (Рис.8, 9)

(ядерные концентрации нуклидов -1/см3 *1024)

Нуклид	Твэл 873К	Оболочка 873К	Замедлитель 559К	Твэг 873К
H-1 O-16 Zr Se Fe Ni Cr Gd-154 Gd-155 Gd-156 Gd-157 Gd-158 U-235 U-238	4.4621E-2 6.69335E-4 2.16400E-2	4.1620E-2 2.0663E-4 5.5081E-5 4.2371E-5	4.9493E-2 2.4742E-2	4.4783E-2 2.1732E-5 1.4733E-4 2.0383E-4 1.5584E-4 2.4731E-4 6.4925E-4 2.0994E-2

Таблица 2 . Результаты расчета К для однородной решетки реактора BWR рис 8

Программа	WIMS	MCU-PR	САПФИР	GETERA
К	1.331	1.341	1.331	1.348
Погрешность,%	-0.724	0.0	-0.724	+0.52

В табл. 2 приведены результаты расчетов К для однородной решетки реактора BWR по различным известным программам. В качестве реперной программы здесь принята программа MCU-PR . В данном случае согласие между всеми программами хорошее. При рассмотрении полиячейки с сильными поглотителями (рис.9) использование полиячеечной модели программы GETERA приводит, как это следует из результатов, приведенных в табл , к заметной погрешности при расчете коэффициента размножения. Можно предположить, что такое разногласие связано с приближения изотропного распределения нейтронов в окрестностях любой ячейки и связанного с этим метода расчета элементов альбедной матрицы. В случае этого предположения альбедная матрица для рассматриваемой полиячейки имеет вид:

Альбедная матрица AL-0 для полиячейки рис 9 в изотропном приближении:

0., 0.5, 0., 0.5, 0., 0.,
0.25, 0., 0.5, 0., 0., 0.25, al-0
0., 0.5, 0., 0.25,0.25, 0.,
0.5, 0., 0.5, 0., 0., 0.,
0., 0., 0.45, 0., 0., 0.55,
0., 0.5, 0., 0., 0.5, 0.,

Для того, чтобы оценить влияние анизотропии потока нейтронов вокруг топливных элементов примыкающих к ячейкам с ТВЭГ ( это , прежде всего ячейки с номером –2 (см. рис 9) были проведены вариации элементов альбедной матрицы, характеризующих токи нейтронов из ячеек-2 в ячейки ее окружающие, при этом делалось очевидное предположение, что плотность тока нейтронов из этих ячеек в сторону поглощающих элементов больше чем в направлении других элементов. Для этого варьировались элементы второй строки альбедной матрицы, представляющие собой доли тока нейтронов в направлениях соответствующих ячеек полиячейки. В результате были проведены расчеты полиячейки с новой альбедной матрицей AL-1, имеющей вид:

Альбедная матрица для полиячейки рис 9 с учетом анизотропии тока нейтронов из топливных ячеек – 2:

0., 0.5, 0., 0.5, 0., 0.,
0.24, 0., 0.49, 0., 0., 0.27, al-1
0., 0.5, 0., 0.25,0.25, 0.,
0.5, 0., 0.5, 0., 0., 0.,
0., 0., 0.45, 0., 0., 0.55,
0., 0.5, 0., 0., 0.5, 0.,

Эта альбедная матрица отличается от полученной в предположении изотропного распределения - AL-0 – только элементами второй строки.

Результаты расчетов приведены в табл. 3 .
Таблица 3 . Влияние учета анизотропии потока нейтронов вблизи выгорающего поглотителя (Рис. 9) в решетке BWR на расчетное значение К по программе GETERA.

Программа	MCU-PR	GETERA, AL=0	GETERA, AL=1
К	1.0010	1.0096	0.9960
Погрешность, %	0	+1.3	-0.5

Полученные результаты показывают, во первых, большую чувствительность к учету анизотропии потока нейтронов расчетных значений коэффициента размножения для рассматриваемых ячеек (это связано со значительной долей поглощения нейтронов в блоках с гадолинием и их влиянием на баланс нейтронов), и, во вторых, что подбором элементов альбедной матрицы с помощью более точных программ или уточнения модели на основе более адекватного расчета токов нейтронов на границах ячеек можно настроить программу GETERA для проведения практических расчетов рассматриваемого реактора.

Представляет интерес, как влияет учет анизотропии при ячеечных расчетах на другие величины. Одним из важных назначений ячеечных расчетов является получение малогрупповых констант для гомогенизированных ячеек. Эти константы далее используются для расчета реактора в целом. В табл. 4 приведены результаты таких расчетов. С той же целью были проведены расчеты зависимости коэффициента размножения от глубины выгорания топлива в полиячейке с гадолинием . Результаты приведены в табл. 5.

Таблица 4.

Сравнение двугрупповых сечений свежей ТВС BWR (Рис 9 ), полученных по программе.GETERA с учетом (АL-0) и без учета (АL-1) анизотропии потока нейтронов Егр=1 эВ.

Программа	К	D, *3 sm	a , 100/sm	r 100/sm	ff 100/sm
GETERA (AL-0)	1.0096	4.65 1.277	0.88 8.65	1.181	0.578 10.32
GETERA (AL-1)	0.9960	4.65 1.278	0.88 8.73	1.181-	0.578 10.26

Таблица 5. Изменение Кinf при выгорании свежей ТВС BWR (Рис 9), полученных по программе. GETERA с учетом (АL-0) и без учета (АL-1) анизотропии потока нейтронов.

c Gd).

Выгорание Мвтсут/кг	Программа
			GETERA (AL-0)		GETERA (AL-1)
0.0		1.0096		0.9964
2.0		1.0209		1.0124
4.0		1.0684		1.0660
6.0		1.1350		1.1410
8.0		1.1882		1.1935

Из приведенных в таблицах результатов расчетов следует, что погрешность в рассматриваемых величинах , связанная с неучетом анизотропии потока в окрестностях топливных элементов в ТВС составляет : для двухгрупповых констант менее одного процента и менее половины процента для коэффициента размножения при выгорании топлива начиная уже с 4 МВт сут/кг. Таким образом расчет малогрупповых констант и глубины выгорания на основе ячеечных расчетов можно , по видимому, проводить в приближении изотропного распределения потока нейтронов в окрестностях топливных поглощающих элементов для широкого круга систем.

Список литературы.

1. Аннотация пакета программ MCU. Сб. ВАНТ сер. Физика и техника ядерных реакторов. Вып. 7 Физика и методы расчета ядерных реакторов . М. 1985.

2. R.Sanchez, J.Mondot and al. APOLLO II: A User-Oriented, Portable, Modular Code for Multigroup Transport Assembly Calculations. Nuclear Science and Engineering: 100, 352-362 (1988).
3. Н.И. Белоусов, В.Д. Давиденко, В.Ф. Цибульский
Программа UNK для детального расчета спектра нейтронов в ячейке ядерного реактора. Преприинт ИАЭ-6083.4. Москва 1998.
4. J. Askev. Ageneral Description of Lettice Code WIMS. Jorn. Brit. Nucl. Energy Soc. 1966, v. 5, p. 554.
5. N.Belousov, S.Bichkov, Y.Marchuk at al. The code GETERA for cell and policell calculations model capability. Proc. Of the Top. Meet. An Advances in Reactor Physics. March 8-11, 1992, Charlston, USA.
6. Е.И. Гришанин. Е.Е. Денисов. А.Я.Люблин, Л.Н.Фальковский. Разработка математической модели для расчета параметров теплоносителя тепловыделяющей сборке легководного реактора с микротвэлами. Тяжелое машиностроение № 9. 1995. С 11-20.
7. Balestrieri, D., Stady and optimization of composite nuclear fuel with burnable poison UO2/Gd2O3 , Thesis: INSA, Lyon, No.95, ISAL 0061 (1995) 159 p.
8. А.А. Поляков, Ю.В. Стогов, Н.И. Белоусов, В.И. Савандер, В.Н. Проселков.
Расчетно-экспериментальные исследования легководных решеток с композитным оксидным уран-гадолиниевым топливом.
Материалы 11 семинара по проблемам физики реакторов . Москва 4-8 сентября 2000 г. Волга-2000.Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет).