|
tengsizlik о‘rinli.
Isbot.
X
M
Х
hodisa
1
2
2
Х
M
Х
hodisaga teng kuchli. U holda,
1
2
2
X
M
Х
P
X
M
X
P
.
Yuqoridagi lemmadan, shuningdek matematik kutilma xossalari va dispersiya
ta’rifidan quyidagiga ega bо‘lamiz.
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
X
D
X
D
X
M
Х
M
X
M
Х
M
X
M
Х
P
Shunday qilib,
2
X
D
X
M
X
Р
.
Qarama-qarshi hodisalar ehtimolliklari yig‘indisi birga tengligidan
2
1
X
D
X
М
Х
Р
(6.4)
(6.3) va (6.4)
Chebishev tengsizligi
deyiladi (P.L.Chebishev, 1821-1894, rus
matematigi).
(6.4) tengsizlik, agar
yetarlicha kichik bо‘lsa tasodifiy miqdor о‘zining
matematik kutilmasiga yaqin qiymat qabul qilishi ehtimolligini baholashni
anglatadi.
1-misol.
X
diskret tasodifiy miqdor dispersiyasi
.
001
,
0
X
D
X
ning
X
М
dan chetlanishi 0,1 dan kattaga farq qilish ehtimolligini baholang.
Yechish:
1
,
0
01
,
0
001
,
0
1
,
0
1
,
0
2
X
D
X
M
X
Р
.
38
Izoh.
Chebeshev tengsizligining nazariy ahamiyati juda katta. Ammo,
amaliyotda Chebishev tengsizligining ahamiyati cheklangan, chunki ba’zi
hollarda u qо‘pol, ba’zan esa trivial baho beradi. Masalan,
2
X
D
bо‘lsa,
u holda,
1
2
X
D
va
,
0
1
2
X
D
bu esa mumkin emas.
6.2 Chebishev teoremasi (katta sonlar qonuni)
Agar bog’liqsiz
X
1
,
X
2
, ….
X
n
tasodifiy miqdorlar dispersiyalari yagona
о‘zgarmas
C
sondan katta bо‘lmasa, ya’ni
n
i
C
X
D
i
,
1
u holda, har
qanday kichik
0
son uchun
X
M
Х
hodisaning ehtimolligi
tasodifiy miqdorlar soni
n
yetarlicha katta bо‘lganda birga yaqin bо‘ladi, ya’ni
1
lim
X
M
Х
P
n
(6.5)
bu yerda,
n
Х
Х
Х
Х
n
...
2
1
Isboti
(6.4) Chebishev tengsizligiga asosan,
2
1
X
D
X
M
Х
P
(6.6)
Dispersiyani xossasidan
n
С
n
nС
X
D
X
D
X
D
n
X
D
n
2
2
1
2
...
1
Bu yerda, (6.6) tengsizlik va har qanday hodisaning ehtimolligi birdan
oshmasligidan
n
С
X
M
X
P
2
1
1
(6.7)
(6.7) tengsizlikdan
n
da limitga о‘tib, (6.5) ni hosil qilamiz.
2-misol
.
X
1
,
X
2
,...,
X
n
,… о‘zaro bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi
quyidagi taqsimot qonun bilan berilgan:
X
n
n
0
n
p
n
1
n
2
1
n
1
Bu ketma-ketlikka Chebishev tengsizligini qо‘llash mumkinmi?
Yechish:
Masalani shartidan
X
n
(
n
=1, 2...) tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz,
demak, teoremaning birinchi sharti bajariladi. Endi, ularning dispersiyalari tekis
chegaralanganlik shartining bajarilishini tekshiramiz.
Avvalo,
M
(
X
n
) va
M
(
X
n
2
) larni topamiz.
0
1
)
2
1
(
0
1
)
(
n
n
n
n
n
Х
М
n
.
2
1
)
(
)
2
1
(
0
1
)
(
)
(
2
2
2
2
n
n
n
n
n
Х
М
n
39
Demak,
.
2
))
(
(
)
(
)
(
2
2
n
n
n
X
М
X
М
Х
D
(
n
=1, 2...)
Shunday qilib, berilgan
X
n
tasodifiy miqdorlar har birining dispersiyasi 2 soni
bilan tekis chegaralangan. Bu ketma-ketlikka Chebishev teoremasini qо‘llash
mumkin.
Chebishev teoremasini bir asosiy
xususiy hol
ini qaraymiz.
Agar
barcha tasodifiy miqdorlar bir xil matematik kutilmaga ega ya’ni
а
X
M
X
M
X
M
n
....
2
1
va
n
i
C
X
D
i
,
1
bо‘lsa , u holda,
1
)
lim
a
Х
P
n
(6.8)
Chebishev teoremasining mazmuni quyidagicha: Ayrim bog’liqsiz
tasodifiy miqdorlar о‘z matematik kutilmalaridan ancha farq qiladigan
qiymatlar qabul qilsada, yetarlicha katta sondagi tasodifiy miqdorlar о‘rta
arifmetigi
Х
ularning matematik kutilmasining о‘rta arifmetigiga katta
ehtimollik bilan yaqin bо‘ladi.
Eslatma.
Statistikada qо‘llaniladigan tanlanma usuli Chebishev teoremasiga
asoslangan.
6.3 Bernulli teoremasi
Chebishev teoremasining xususiy hollaridan biri
«Katta sonlar qonuni»
bilan yuritilgan Bernulli teoremasini qaraymiz.
Teorema
Agar
n
ta bog’liqsiz sinovning har birida
A
hodisaning rо‘y berish
ehtimolligi
p
ga teng va sinovlar soni yetarlicha katta bо‘lsa, u holda, har qanday
0
son uchun
1
lim
p
n
m
P
n
(6.9)
Isboti.
X
i
bilan bog’liqsiz
i
- sinovda hodisaning rо‘y berishlar sonini
belgilaymiz
n
i
,
1
.U holda,
m
=
X
1
+
X
2
+….+
X
n
,
Х
n
X
X
n
m
n
....
1
p
X
M
,
q
=1-
p
,
np
X
D
i
,
p+q
=1 ekanligidan
4
1
pq
.
Shunday qilib,
4
1
i
X
D
va
X
i
(
i
=
1
,
n
) tasodifiy miqdor uchun Chebishev
teoremasining barcha shartlari bajariladi. Demak, (6.8) formula (6.9) ga
aylanadi.
Bernulli teoremasining amaliy ahamiyati quyidagicha:
yetarlicha katta
bog’liqsiz sinovlarning har birida
A
hodisaning rо‘y berish ehtimolligi
о‘zgarmas
p
songa teng bо‘lsa,
A
hodisaning rо‘y berish nisbiy chastotasi uning
ehtimolligidan kam farq qiladi.
40
О‘Z-О‘ZINI TEKSHIRISH UCHUN SAVOLLAR
1.Katta sonlar qonunining mohiyati nimadan iborat.
2.Yetarlicha katta sondagi bog’liqsiz tasodifiy miqdorlarning arifmetik о‘rtacha
qiymati tasodifiylik xususiyatini yо‘qotadimi?
3.Chebishev tengsizligini yozing.
4.Chebiyev teoremasini ayting.
5.Chebishev teoremasining amaliy ahamiyati nimadan iborat.
6.Bernulli teoremasi va uning amaliy ahamiyati.
7.Bernulli teoremasiga asoslanib
p
n
m
n
lim
ni kо‘rsating?
Mustaqil yechish ushun mashqlar
1.Agar
001
,
0
X
D
bо‘lsa,
1
,
0
X
M
X
ning ehtimolligini Chebishev
tengsizligi bо‘yicha baholang. J:
9
,
0
p
2.
A
hodisaning har bir sinovda rо‘y berish ehtimolligi
2
1
ga teng.Agar 100 ta
bog’liqsiz sinov о‘tkaziladigan bо‘lsa,
A
hodisaning rо‘y berishlari soni
X
ning
40 dan 60 gacha bо‘lgan oraliqda yotish ehtimolligini Chebishev tengsizligidan
foydalanib baholang. J:
0,75
3. Har bir sinovda hodisaning rо‘y berish ehtimolligi
4
1
ga teng. Agar 800 ta
sinov о‘tkaziladigan bо‘lsa, hodisaning rо‘y berish soni
X
ning 150 dan 250
gacha bо‘lgan oraliqda yotish ehtimolligini Chebishev tengsizligidan foydalanib
baholang. J:
0,94
4.
X
diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:
X
0,1
0,4
0,6
p
0,2
0,3
0,5
Chebishev tengsizligidan foydalanib ,
4
,
0
X
M
X
bо‘lish ehtimolligini
baholang. J: 0,909
5.Berilgan joyning quyoshli kunlari soni
X
о‘rtacha qiymati 100 kundan va
о‘rtacha kvadratik chetlanishi 20 kundan iborat tasodifiy miqdordan iborat.
Hodisa ehtimolligini yuqoridan baholang:
,
150
Х
А
.
200
Х
B
6.Korxonananing texnik ehtiyoji uchun kunlik zaruriy suv miqdori tasodifiy
miqdor bо‘lib, matematik kutilmasi 125 m
3
. Yaqin kunlarda korxonaga kunlik
suv miqdori sarfi 500 m
3
ga kо‘payish ehtimolligini baholang.
7.Yо‘lovchining poyezdga kechikish ehtimolligi 0,007 ga teng. 20 000
yо‘lovchidan 100 tadan 180 tagachasi poyezdga kechikish mumkinligi
ehtimolligini baholang.
41
8.Xaridorning dо‘kondagi mahsulotga ehtiyoji ehtimolligi 0,25 ga teng. 2500 ta
kutilayotgan xaridorning mahsulotga bо‘lgan ehtiyojining 0,25 ehtimoldan
chetlanishi absolyut qiymati 0,06 dan oshmaslik ehtimolligini baholang.
9
.
,
9
,
0
)
(
X
M
X
P
004
,
0
X
D
lar
berilgan.
Chebishev
tengsizligidan foydalanib,
ni toping.
10. Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi
...
,
,
...
,
,
2
1
n
X
X
X
ushbu
taqsimot qonuni bilan berilgan:
Bu ketma-ketlikka Chebishev teoremasini qо‘llash mumkinmi?
J: Qо‘llash mumkin
:
Do'stlaringiz bilan baham: |
