Muxammad Al-Xorazmiy nomidagi tatu

Yechilishi: Demak tenglamalarning funksiyasini yozib ularning grafigini GeoGebra 2D dasturida chizib olishimiz mumkin:

1
f ( x, y )  x ³  y  1 va
f ( x, y )  x ²  y ²  4

Geometrik nuqtai nazardan bu yerda aylana va egri chiziqning kesishish nuqtalarini topish talab qilinayapti. Grafikdan ko‘rinadiki tenglamalar sistemasi 2 ta

yechimga ega. Biz Nyuton usuli yordamida 2-chorakdagi taqribiy yechimini izlaymiz. Buning uchun zarur bo‘ladigan xususiy hosilalarni hisoblaymiz:

f₁
x
 3 x ² _;
f₁
y
 1 _:
f ₂
x
 2 x _:
 f ₂
 y
 2 y

Bularga ko‘ra

𝜕𝑓₁

𝜕𝑥
∆= _|𝜕𝑓2
𝜕𝑥
𝑓
𝜕𝑓₁

𝜕𝑦
𝜕𝑓₂^{| =}
𝜕𝑦
𝜕𝑓₁

3𝑥² 1

^| 2𝑥 2𝑦^|

= 2𝑥(3𝑥𝑦 − 1)

¹ 𝜕𝑦 𝑥³ + 𝑦 − 1 1

∆_𝑥= _|
𝑓₂
𝜕𝑓₁
^{𝜕 𝑓}2^{| = |𝑥2}
𝜕𝑦
𝑓
+ 𝑦²
− 4 2𝑦
| = 2𝑥³𝑦 − 𝑥² + 𝑦² − 2𝑦 + 4

𝑦
∆ = | ^𝜕𝑥
𝜕𝑓₂
¹ 3𝑥² 𝑥³ + 𝑦 − 1 ₄
^{| = |} 2𝑥 𝑥² + 𝑦² − 4^{| = 𝑥}
+ 3𝑥
2_𝑦2
− 12𝑥²
− 2𝑥𝑦 + 2𝑥

𝜕𝑥 ^𝑓2
Nyuton usulida iteratsiya jarayoni quyidagicha quriladi:

^𝑥𝑘+1
{
= 𝑥_𝑘
− ∆_𝑥(𝑥_𝑘;𝑦_𝑘)
∆(𝑥_𝑘;𝑦_𝑘)
∆_𝑦(𝑥_𝑘;𝑦_𝑘)


k=0;1;2;……

𝑦_𝑘+1 = 𝑦_𝑘 −
∆(𝑥_𝑘
;
;𝑦_𝑘)

Iteratsiyani to‘xtatish sharti sifatida esa:
^√(𝑥_𝑘+1 − 𝑥_𝑘)² + (𝑦_𝑘+1 − 𝑦_𝑘)² < 𝜀
ya’ni keyingi va oldingi topilgan nuqtalar orasidagi masofa oldindan berilgan 𝜀 dan
kichik bo‘lganda iteratsiya jarayonini to‘xtatamiz. 2-chorakdagi yechimni topish uchun grafikdan foydalanib, iteratsiya jarayonini tezlashtirish maqsadida boshlang‘ich yaqinlashish nuqtasini ildizga yaqinroq joydan o‘zimiz tanlaymiz:

𝑥₀ = −1; 𝑦₀ = 2.
𝑥₁ = −0.9286; 𝑦₁ = 1.7857; √(𝑥₁ − 𝑥₀)² + (𝑦₁ − 𝑦₀)² = 0.2259 > 0.01 = 𝜀

𝑥₂ = −0.91916; 𝑦₂ = 1.776321; √⁽𝑥₂ − 𝑥₁⁾² + ⁽𝑦₂ − 𝑦₁⁾² = 0.013 > 0.01 = 𝜀

𝑥₃
= −0.91907; 𝑦₃
= 1.776321; ^√(𝑥₃
− 𝑥₂
⁾² + (𝑦
− 𝑦₂
2
) = 0.001 < 0.01 = 𝜀

3
Ko‘rinib turibtiki 3-yaqinlashishda biz ildizga kerakli aniqlikda yaqinlasha oldik. Dasturning o‘zida ham ushbu nuqtalarni topishni iloji bor edi, lekin maqsad tijorat maqsadlarida yaratilayotgan har xil hisoblash dasturlari ichida biz qayd etib o‘tgan algoritmlar yotganligi, bunday dasturlarni tuzishda talabalarga nafaqat dasturlash malakasi, balki matematik malaka ham zarurligini ko‘rsatishdan
iborat. Geogebra dasturi chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini yechishda juda qo‘l kelib ularning ishini ancha osonlashtiradi. Talabalar mustaqil ishlarini bajarish jarayonida iteratsiya jarayonini tezlashtirish maqsadida, boshlang‘ich (x_o;y_o) nuqtani

tavakkal tanlamasdan yechimga yaqinroq nuqtani tanlashadi va bu orqali dasturning ish samaradorligini ortishiga erishadi.

4. 
   Ushbu usulni dasturini tuzib, dastur kodi, dastur bergan yechim skrinshotlarini taqdim qilish, mustaqil ish himoyasida dastur orqali yechim olishni shaxsan talabani o‘zi namoyish qilishi talab qilinadi.
   

VARIANTLAR

Quyidagi chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasi 𝜀 = 𝑉 ∗ 0.0001 aniqlik bilan taqriban hisoblansin. V-variant nomeri.
^{V + 1} ∙ 𝑥² + ^{𝑉 + 2} ∙ 𝑦² − ^{𝑉 + 3} ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑉
_{ 2 4 5
^{V + 2} ∙ 𝑥² + ^{𝑉 + 3} ∙ 𝑦² + ^{𝑉 + 5} ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑉
5 3 4