Mustaqil yechish uchun mashqlar

Mustaqil yechish uchun mashqlar

1. 
   Deraza ramasi to’g’ri to’rtburchak shaklida bo’lib, tepa qismi yarim aylanadan iborat. Agar ramaning perimetri berilgan bo’lsa, uning o’lchamlari qanday bo’lganda yuzasi eng katta bo’ladi?
   
2. 
   Asosi diametri 40 sm. bo’lgan g’o’ladan to’g’ri to’rtburchakli ko’ndalang kesimga ega bo’lgan ustun tayyorlash lozim bo’lsin. Agar ustun asosi a va b o’lchamlarga ega bo’lib, ustunning mustahkamligi bh² ga to’g’ri proporsional bo’lsa (h-ustunning balandligi), uning o’lchamlari qanday bo’lganda mustahkamligi eng yuqori bo’ladi.
   
3. 
   Buyurtma bo’yicha, hajmi 72 sm³ bo’lgan qopqoqli qutini sshunday yasash kerakki, asosining tomonlari 1:2 nisbatda bo’lsin. Qutining o’lchamlari qanday bo’lganda uni tayyorlaShga eng kam taxta ketadi, ya’ni iqtisodiy tejamkorlik eng yuqori bo’ladi?
   
4. 
   Balandligi 1,4 m bo’lgan kartina ko’rgazma devoriga osilgan bo’lib, uning pastki asosi kuzatuvchi ko’zidan 1,8 m balandlikda joylashgan. Kartinani ko’rish burchagi eng katta bo’liShi uchun, kuzatuvchi devordan qancha uzoqda turishi kerak?
   
5. 
   Bir bet qog’ozda tekst 384 sm² joyni egallashi shart. Tepa va pastdan 3 sm dan yon tomonlardan esa 2 sm dan joy qoldiriladi. Agar qog’ozni tejash asosiy maqsad bo’lsa, qog’ozning eng samarali o’lchamlari qanday bo’lishi kerak?
   
6. 
   Paraxodda yonilg’i sarfi ikki qismga bo’linadi. Ulardan biri tezlikka bog’liq bo’lib, 4800 so’m/soat. Ikkinchi qismi esa tezlikning kubiga proporsional bo’lib, tezlik 10 km/soat bo’lganda 300 so’m/soat. Tezlik qanday bo’lganda, 1 km yo’lga sarflangan jami xarajat (yonilg’i sarfi) minimal bo’ladi.
   
7. 
   Qayiq qirg’oqning eng yaqin nuqtasidan 3 km masofada turgan bo’lib, maqsad o’sha nuqtadan 6 km naridagi to’g’ri chiziqli qirg’oqda joylashgan mayoqqa borish bo’lsin. Agar qayiqning tezligi 4 km/soat yo’lovchining qirg’oq bo’ylab tezligi 6 km/soat bo’lsa, u manzilga eng qisqa vaqtda borishi uchun qanday marshrutni tanlash kerak?
   
8. 
   Hajmi bo’lgan silindrlar ichidan to’la sirti eng kichik bo’lgan silindr o’lchamlarini toping.
   
9. 
   Uzunligi 1m bo’lgan simni to’g’ri to’rtburchak shaklida qanday o’lchamlarda bukish kerakki, u bilan chegaralangan yuza maksimal bo’lsin?
   
10. 
    Perimetri 20 sm bo’lgan teng yonli uchburchaklardan qaysi biri eng katta yuzaga ega bo’ladi.
    
11. 
    Yarim doiraga ichki chizilgan (bir tomoni diametrda yotadi) to’g’ri to’rtburchaklar ichidan eng katta yuzalisini toping.
    
12. 
    To’g’ri to’rtburchak shaklidagi 294 m² yuzaga ega bo’lgan maydonchani devor bilan o’rash va yana devor bilan uni teng ikkiga bo’lish kerak bo’lsin. Maydonchaning chiziqli o’lchamlari qanday bo’lganda jami devor uzunligi eng qisqa bo’ladi?
    
13. 
    Trapesiyaning yon qirralari uning kichik asosiga teng bo’lib, uning katta asosiga yopishgan burchagi qanday bo’lganda yuzasi maksimal bo’ladi.
    
14. 
    Berilgan doiraga maksimal yuzali ichki uchburchakni chizing.
    
15. 
    Berilgan doiraga tomonlari kvadratlarining yig’indisi maksimal bo’lgan uchburchak ichki chizilsin.
    
16. 
    Tekslikda x₁,x₂ va x₃ nuqtalar byerilgan. Shunday x₀ nuqtani topingki, x₀ dan berilgan nuqtalargacha bo’lgan masofalar kvadratlarning yig’indisi eng kichik bo’lsin.
    
17. 
    Ellipsga tomonlari koordinata o’qlariga parallel bo’lgan maksimal yuzali ichki to’g’ri to’rgburchak chizilsin.
    
18. 
    
    
19. 
    
    
20. 
    
    
21. 
    
    
22. 
    
    
23. 
    
    
24. 
    
    
25. 
    Shartli ekstremum masalasini yechish usulidan foydalanib, quyidagi tengsizlikni isbotlang:
    

26. 
    
    

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   Berilgan musbat sonni shunday ikkita musbat qo’shiluvchiga ajratingki, ularning teskari qiymatlari yig’indisi minimal bo’lsin.
   
4. 
   Berilgan musbat sonni shunday n ta qo’shiluvchiga ajratingki, ularning kvadratlari yig’indisi minimal bo’lsin.
   
5. 
   ´lchamlari qanday bo’lganda V hajmli ochiq, to’rtburchakli vanna eng kam sirtga ega bo’ladi?
   
6. 
   Perimetri 2r bo’lgan shunday to’rtburchakni aniqlangki, uni tomonlaridan biri atrofida aylantiriShdan hosil bo’lgan jismning hajmi eng katta bo’lsin.
   
7. 
   u=x² parabola va x-u=2 to’g’ri chiziq orasidagi masofani toping.